AMC 10 · 2002 · #11
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
홀짝(패리티)과 단 하나뿐인 짝수 소수 때문에 값이 아주 강하게 제한되어, 살아남는 값의 조합은 오직 하나뿐이다. 그래서 홀짝과 나누어떨어짐으로 경우를 지워 나가 A와 B의 답이 하나만 남게 한 뒤, 그 합을 읽어 내는 것이 좋은 방법이다.
네 소수의 이름 붙이기
넷을 그대로 적는다; 차가 양의 소수여야 하므로 A가 B보다 크다.
네 대상과 그들의 관계를 종이에 적어 두면 숨어 있던 홀짝 단서가 눈에 보인다.
2.OA.C.3Introduce A Variable둘 다 홀수는 불가능
둘 다 홀수면 합과 차가 모두 짝수라 불가능하므로 하나는 2이다.
홀수 빼기 홀수는 짝수이고 짝수 소수는 2뿐이므로, 큰 짝수 소수 두 개가 동시에 존재할 수는 없다.
두 소수가 모두 홀수일 수는 없는데, 차가 홀수이면 둘 중 하나가 짝수여야 하기 때문이다.
▸ 왜?
홀수에서 홀수를 빼면 짝수이므로, 홀수인 차는 홀수 하나와 짝수 하나에서만 나온다.
▸ 왜?
짝수인 소수는 2뿐이므로, 짝인 쪽은 무엇이 될지 고를 여지가 없다.
어느 것이 2인지 정하기
A가 2이면 차가 양수가 아니므로 B = 2이다.
2에서 빼면 소수 아래로 떨어지므로, 2가 될 수 있는 것은 더 작은 수뿐이다.
4.OA.B.4Extreme Principle3으로 나누어떨어짐 이용하기
그러면 A-2, A, A+2가 3의 나머지를 모두 덮어 가장 작은 것이 3, 즉 A = 5이다.
2씩 떨어진 세 수는 항상 3으로 나눈 모든 나머지를 만들어 내므로, 하나는 반드시 소수 3이 된다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities더한 뒤 성질 고르기
네 소수의 합은 17이고 그 자체가 소수이다, 보기 (E).
살아남은 소수가 2, 3, 5, 7뿐이면 그 합 17 역시 소수이다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities짝수 소수는 2뿐이라 B는 2여야 하고, 그러면 3으로 나누어떨어짐이 A = 5를 강제하여 소수 2, 3, 5, 7이 나오는데 그 합 17 역시 소수이다.
- 네 소수의 이름 붙이기
- 둘 다 홀수는 불가능
- 어느 것이 2인지 정하기
- 3으로 나누어떨어짐 이용하기
- 더한 뒤 성질 고르기