AMC 10 · 2002 · #13
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
연속한 정수 18 개의 나열은 단 하나의 수, 즉 어디서 시작하는가로 결정된다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 그 시작하는 수를 a 라 부르고, 온갖 나열 전체를 합에 대한 하나의 식으로 바꾼다. 이어서 도구 #15 (다르게 정리하기)가 그 식을 곱의 꼴로 다시 쓰는데, 바로 여기서 완전제곱 조건이 읽히기 시작한다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)는 "이 합이 제곱수인가?" 라는 질문을 인수 하나에 대한 훨씬 작은 질문으로 줄인다. 도구 #14 (극단의 원리)로 그 인수가 가질 수 있는 가장 작은 값을 고르고, 도구 #6 (추측하고 확인하기)로 실제 나열을 더해 답을 확인한다.
시작하는 수에 이름 붙이기
가장 작은 수를 a라 하면 열여덟 항의 합은 18a + 153이다.
시작하는 수에 문자 하나를 붙이면 가능한 모든 나열이 한꺼번에 담기므로, 무한한 목록 대신 식 하나만 살피면 된다.
6.EE.A.2Introduce A Variable9를 밖으로 빼내기
두 부분 모두 9의 배수이므로 합은 9(2a+17)이다.
제곱수는 같은 인수가 거듭된 것이므로, 합을 곱으로 다시 써야 제곱이 눈에 들어온다.
7.EE.A.2Organize Information In More Ways제곱 조건을 줄이기
9가 이미 제곱이므로 합이 제곱인 것은 2a+17이 제곱일 때뿐이다.
이미 갖고 있는 제곱 인수는 공짜로 떼어낼 수 있고, 남는 것은 같은 종류의 더 작은 질문이다.
이미 들어 있는 제곱 인수는 떼어 낼 수 있고, 똑같은 종류의 더 작은 물음만 남는다.
▸ 왜?
모든 수는 한 가지 방식으로만 소수로 갈라지므로, 제곱수란 모든 소수가 짝수 번 나타나는 수다.
▸ 왜?
9는 공통인수로 합에서 빠져나왔고, 그것이 애초에 제곱을 드러나게 했다.
허용되는 가장 작은 제곱수 고르기
그 값은 홀수이고 19 이상이므로 가능한 가장 작은 제곱은 25이다.
합이 인수 하나와 나란히 커진다면, 합을 최소로 만드는 일은 그 인수를 최소로 만드는 일이다.
7.EE.B.4Extreme Principle이긴 나열을 확인하기
그러면 a = 4이고 4부터 21까지의 합은 225, 보기 (B).
실제 나열을 만들어 보이면 하한이 사실로 바뀐다 — 그 값은 허용될 뿐 아니라 실제로 일어난다.
4.OA.A.3Guess And Check연속한 수 18 개의 합은 언제나 9 곱하기 홀수이므로, 그 홀수가 제곱수일 때에만 합이 제곱수가 된다.
- 시작하는 수에 이름 붙이기
- 9를 밖으로 빼내기
- 제곱 조건을 줄이기
- 허용되는 가장 작은 제곱수 고르기
- 이긴 나열을 확인하기