AMC 10 · 2002 · #14

학년 7 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basicpair-counting extremal-construction ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

평면에 서로 다른 네 개의 원을 그린다. 최대한 영리하게 배치할 때, 두 개 이상의 원 위에 동시에 놓이는 점은 최대 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 8$

(B)

$\ 9$

(C)

$\ 10$

(D)

$\ 12$

(E)

$\ 16$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

네 원이 한꺼번에 교차하면 얽혀 보이지만, 교점은 결코 세 원 사이에서 생기지 않는다 — 모든 교점은 정확히 한 쌍의 원에 속한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 이 사실을 이용해 전체 개수를 쌍별 합으로 나눈다: 전체는 (한 쌍당 점의 수) 곱하기 (쌍의 수) 일 뿐이다. 도구 #1 (그림 그리기)는 첫째 인수를 확정한다 — 두 원은 최대 두 점에서 만난다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)는 둘째 인수를 확정한다 — 네 원의 쌍을 조심스럽게 나열해 하나도 빠뜨리거나 중복하지 않는다. 도구 #14 (극단의 원리)가 논증을 마무리한다: 모든 쌍이 실제로 두 점에서 만나고 세 원이 한 점을 공유하지 않을 때 전체가 최대가 되며, 이 최선의 경우가 실제로 그릴 수 있는지 확인한다.

1STEP 1

두 원은 최대 두 번 만난다

서로 다른 두 원은 최대 두 번 만난다 — 세 번은 불가능하다.

한 쌍이 만드는 점 ≤ 2

2STEP 2

모든 교점은 한 쌍에 속한다

각 교점은 정확히 두 원 위에 있으므로 한 쌍에 속한다.

전체 교점 = Σ_쌍 (그 쌍의 교점)

3STEP 3

원의 쌍을 나열하기

네 원의 쌍을 중복 없이 나열하면 6쌍이다.

{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4} → 6 쌍

4STEP 4

곱한 뒤, 도달 가능한지 확인하기

여섯 쌍에 각 두 점이면 12이고, 삼중점이 없으면 실제로 도달한다, 보기 (D).

6 × 2 = 12 → (D)

정답

작은 경우로 패턴을 확인하자. 두 원: 1 쌍, 최대 2 점. 세 원: 3 쌍, 최대 6 점. 네 원: 6 쌍, 최대 12 점. 일반적으로 n 개의 원은 2C(n, 2)=n(n-1) 점을 주고, 4 × 3 = 12와 일치한다. 답은 8 (선택지 A 는 원 하나마다 2 점씩만 세어, 새 원이 앞의 모든 원과 교차한다는 것을 잊은 것이다) 보다 커야 하고, 16 (선택지 E) 에는 이를 수 없다 — 16이 되려면 어떤 쌍이 두 번보다 많이 교차하거나 점을 공유하고도 손해가 없어야 하는데, 둘 다 불가능하다. 그러므로 12가 정직한 최댓값이다.

💡핵심 정리

두 원은 최대 두 번 만나므로, 원의 쌍이 몇 개인지 세어 두 배 하면 된다.

두 원은 최대 두 번 만난다
모든 교점은 한 쌍에 속한다
원의 쌍을 나열하기
곱한 뒤, 도달 가능한지 확인하기

두 원은 최대 두 번 만난다

모든 교점은 한 쌍에 속한다

원의 쌍을 나열하기

곱한 뒤, 도달 가능한지 확인하기

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