AMC 10 · 2002 · #21
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
거의 모든 항이 0 이므로 이 합은 사실 작은 세는 문제 세 개를 이어 붙인 것이다 — 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 각 규칙에 걸리는 n 이 몇 개인지 세고, 그 개수에 값을 곱한 뒤 더하면 된다. 다만 더하기 전에 세 집합이 겹치는지 확인해야 한다. 한 n 이 두 규칙을 동시에 만족하면 중복해서 세일 뿐 아니라 정의 자체가 모호해지기 때문이다. 교집합에 무엇이 있는지 묻는 습관이 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)이고, 여기서는 교집합이 비어 있음이 드러난다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 개수를 센다. '둘 다로 나누어떨어진다'는 '최소공배수로 나누어떨어진다'와 같으므로 각 규칙은 정해진 한 수의 배수에서만 작동하고, 2001 이하의 m 의 배수는 그저 m, 2m, 3m, … 이다.
두 약수를 한 수로 바꾸기
서로소인 두 수로 나누어떨어짐은 곱으로 나누어떨어짐이다: 182, 154, 143.
나누어떨어짐 조건 두 개는 최소공배수에 대한 조건 하나로 합쳐진다.
두 가지 배수 조건이 동시에 걸리면 그 최소공배수 하나에 대한 조건으로 합쳐진다.
▸ 왜?
두 배수 목록에 함께 나타나는 수는 목록이 처음 일치하는 수의 배수뿐이다.
▸ 왜?
세 무리는 주어진 범위에서 결코 겹치지 않으므로, 마지막에 개수를 그냥 더하면 된다.
세 경우가 겹치지 않음을 확인하기
두 규칙이 충돌하려면 2002의 배수여야 하는데 범위가 그것을 배제한다.
두 무리에 동시에 속할 수 있는 수는 세 인수 모두의 배수뿐인데, 그 첫 번째 수가 범위 바로 바깥에 놓여 있다.
6.NS.B.4Draw A Venn Diagram각 무리의 배수 개수 세기
각각이 2002를 정확히 나누므로 범위 안 개수는 10, 12, 13이다.
간격이 2002를 딱 나누므로 개수는 2002 ÷ m 보다 하나 적다 — 마지막 배수가 정확히 금지된 2002에 떨어지기 때문이다.
4.OA.B.4Make A Systematic List개수에 값을 곱해 더하기
값을 곱해 더하면 110 + 156 + 182 = 448, 보기 (A).
2001 개의 항 중 0이 아닌 것은 35 개뿐이므로, 전체 합은 곱 세 개를 더한 것에 지나지 않는다.
4.OA.A.3Identify Subproblems합이 거의 다 0 일 때는, 무언가 일어나는 몇 자리를 찾고 그 자리들이 겹치지 않는지 확인한 다음, 개수를 세어 곱하기만 하면 된다.
- 두 약수를 한 수로 바꾸기
- 세 경우가 겹치지 않음을 확인하기
- 각 무리의 배수 개수 세기
- 개수에 값을 곱해 더하기