AMC 10 · 2002 · #3
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
숫자를 끝없이 대입한다고 해서 '없음', '하나', '무한히 많음' 같은 개수를 증명할 수는 없으니, 단순 대입만으로는 부족하다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)가 열쇠를 준다: 이 이차식은 (n-1)(n-2)로 인수분해되어, '이것이 소수인가?' 라는 물음을 두 정수의 곱에 관한 물음으로 바꾼다. 소수는 두 자연수의 곱으로 나타날 때 그중 하나가 반드시 1 이어야 하므로, 살펴볼 경우가 몇 가지로 확 줄어든다. 그다음 도구 #6 (추측하고 확인하기)로 그 몇 개의 n 값만 확인하고, 도구 #3 (가능성 지우기)로 최종 개수를 다섯 선택지와 맞춘다.
식을 인수분해하기
이 이차식은 사실 곱이다: (n-1)(n-2), 전개해 확인된다.
이차식을 곱으로 다시 쓰면 어려운 '소수인가?' 물음이 두 인수에 관한 물음으로 바뀐다.
6.EE.A.3Identify Subproblems곱이 소수가 되는 조건 묻기
곱이 소수이려면 작은 인수가 1이어야 하므로 n-2 = 1이다.
소수는 둘 다 1 보다 큰 두 인수로 쪼갤 수 없으므로, 한 인수는 1로 고정된다.
곱이 소수가 되려면 인수 가운데 하나가 1이어야 하므로, 그 인수가 못 박힌다.
▸ 왜?
소수는 1과 자기 자신 사이에 약수가 없으므로, 둘 다 1보다 큰 두 인수로 갈라질 수 없다.
▸ 왜?
두 인수가 모두 1을 넘게 하는 값은 모두 곧바로 지워지고, 확인할 값어치가 있는 몇 개만 남는다.
작은 경우 확인하기
작은 값을 넣으면 n=1과 n=2는 0이고 n=3은 2를 주어 소수다.
양의 정수에서 인수가 1이 되는 곳은 n=3 뿐이고, 그때 소수 2가 나온다.
6.EE.A.2Guess And Check더 큰 n 을 모두 제외하고 세기
n이 4 이상이면 두 인수가 모두 1보다 커 합성수다 — 되는 값은 정확히 하나, 보기 (B).
두 인수가 모두 1을 넘는 순간 곱은 늘 더 쪼개지므로, 큰 n 은 결코 소수가 될 수 없다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities(n-1)(n-2)로 인수분해하자: 곱이 소수가 되려면 한 조각이 1 이어야 하고, 그런 양의 정수는 n=3 하나뿐이라 소수 2가 나온다.
- 식을 인수분해하기
- 곱이 소수가 되는 조건 묻기
- 작은 경우 확인하기
- 더 큰 n 을 모두 제외하고 세기