AMC 10 · 2002 · #5

학년 8 algebrageometry-2d
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery
angle-sum-polygonsequences-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: angle-sum-polygonsequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
오각형에는 내각이 다섯 개 있고 그 크기를 도(degree) 단위로 잰다. 다섯 각은 모두 다르며, 작은 것부터 늘어놓으면 v ＜ w ＜ x ＜ y ＜ z 이다. 이 순서로 다섯 각은 등차수열을 이룬다. 즉 각각의 각은 바로 앞의 각보다 일정한 양만큼 크다. 가운데 각 x 를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
72
(B)
84
(C)
90
(D)
108
(E)
120
풀이 과정
전략 변수 도입하기

서로 다른 두 사실이 만나야 한다. 다섯 각의 합이 정해져 있다는 것과, 다섯 각이 고르게 벌어져 있다는 것이다. 도구 #1(그림 그리기)이 합을 준다. 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 오각형을 삼각형으로 자르면, 오각형 문제가 이미 아는 삼각형 문제로 바뀐다. 도구 #4(변수 도입하기)가 간격을 맡는데, 여기서는 변수를 어떻게 잡느냐가 전부이다. 첫 항이 아니라 가운데 항을 중심으로 x-2d 부터 x+2d 까지 이름을 붙이는 것이다. 그러면 도구 #15(다르게 정리하기)로 왼쪽부터 차례로 더하는 대신 바깥 항끼리 짝지어 안쪽으로 더할 수 있고, 모든 d 가 상쇄되어 x 만 남은 식이 나온다. 마지막으로 확인할 것은 문제가 건너뛰도록 유도하는 부분이다. 허용되는 d 가 실제로 존재해서, 문제가 말하는 오각형이 실제 오각형이지 빈 설명이 아님을 보여야 한다.

1STEP 1

오각형을 삼각형 셋으로 자르기

한 꼭짓점에서 삼각형 셋으로 자르면 내각의 합은 540°다.

v+w+x+y+z = (5-2) · 180° = 3 · 180° = 540°
2STEP 2

첫 각이 아니라 가운데 각에 이름 붙이기

구하는 각을 중심으로 수열을 쓴다: x-2d, x-d, x, x+d, x+2d.

v = x-2d, w = x-d, y = x+d, z = x+2d, d ＞ 0
3STEP 3

바깥 항끼리 짝지어 안으로 모으기

양 끝을 안으로 짝지으면 d가 모두 상쇄되어 다섯 항의 합은 5x다.

(x-2d)+(x+2d) = 2x, (x-d)+(x+d) = 2x, v+w+x+y+z = 2x + 2x + x = 5x
4STEP 4

풀고 나서 오각형이 존재하는지 확인하기

5x = 540에서 x = 108이고, d = 10이면 그런 오각형이 실제로 존재한다, 보기 (D).

5x = 540 → x = 108. d=10: 88+98+108+118+128 = 540 ✓ → (D)
정답
108
108° 는 정오각형의 한 내각과 정확히 같은데, 이것이 올바른 점검이다. x 는 다섯 각의 평균이고 평균은 각들이 얼마나 퍼져 있는지에 무관하므로, 넓게 퍼진 오각형의 가운데 각은 완전히 고른 오각형의 각과 같아야 한다. 오답들은 모두 알아볼 수 있는 곁길이다. 72는 정오각형의 한 외각, 90은 정사각형의 각, 120은 정육각형의 한 내각이고, 84는 합을 5 · 84 = 420으로 잘못 잡았을 때 나오는 값이다. 크기에 대한 두 번째 점검도 있다. x 는 v 와 z 사이에 있어야 하는데, 허용되는 모든 d 에 대해 v = 108-2d 는 양수로 남고 z = 108+2d 는 180 아래에 머무르므로, 답 주변 어디도 불가능해지는 경계에 걸려 있지 않다.
💡핵심 정리

홀수 개의 값이 고르게 벌어져 있으면 가운데 값이 곧 평균이다. 그래서 값들이 아무리 넓게 퍼져 있어도 합만 알면 가운데 값을 알 수 있다.

  • 오각형을 삼각형 셋으로 자르기
  • 첫 각이 아니라 가운데 각에 이름 붙이기
  • 바깥 항끼리 짝지어 안으로 모으기
  • 풀고 나서 오각형이 존재하는지 확인하기

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