AMC 10 · 2002 · #9

학년 9 algebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

sequences-arithmeticsequences-geometricquadratic-equationsratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticsequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양수 네 개 a, b, c, d 가 주어지고, 이들은 두 가지 규칙을 동시에 만족한다. 넷을 순서대로 읽으면 증가하는 등차수열이다. 즉 다음 항으로 가는 폭이 모두 같고 그 폭은 양수이다. c 를 건너뛰고 a, b, d 만 읽으면 등비수열이다. 즉 각 항은 바로 앞 항에 일정한 비를 곱한 값이다. a/d의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 1{12}$

(B)

$\frac 16$

(C)

$\frac 14$

(D)

$\frac 13$

(E)

$\frac 12$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

겹치는 두 목록에 서로 다른 규칙 이름이 붙어 있으므로, 할 일은 두 규칙을 같은 문자로 적어 부딪히게 하는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)가 그 일을 한다. 첫 항 a 와 공차 n 하나로 네 수가 모두 적히므로 등차 조건은 남김없이 쓰이고 애매한 부분이 남지 않는다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 '등비'라는 말을 b² = ad 라는 식 하나로 바꾸는데, 이것이 문제에 있는 유일한 진짜 방정식이다. 한쪽을 다른 쪽에 대입하면 이차방정식이 나오고 두 근을 모두 살펴봐야 한다. 부주의한 풀이가 어긋나는 지점이 바로 여기다. 버려지는 근은 음수여서가 아니라 증가하지 않게 만들기 때문에 버려진다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 마무리하여 네 수를 모두 a 의 배수로 다시 적으면, 묻는 비가 한눈에 보이고 a 자체는 정말로 자유롭다는 것도 드러난다.

1STEP 1

공차 하나로 네 수 모두 적기

공차 n 하나로 네 수를 쓰고 n은 양수다; c는 다시 등장하지 않는다.

b = a+n, c = a+2n, d = a+3n, n ＞ 0

2STEP 2

'등비'를 식 하나로 바꾸기

비가 같다는 조건을 대각선으로 곱하면 식 하나 b² = ad가 된다.

b/a = d/b ⇔ b² = ad

3STEP 3

대입하고 두 근을 모두 읽기

대입하면 n(n-a)=0이 되고, n=0은 증가 조건을 깨므로 n = a.

(a+n)² = a(a+3n) → a²+2an+n² = a²+3an → n² - an = 0 → n(n-a) = 0 → n = 0 또는 n = a

4STEP 4

네 수를 다시 적고 비를 읽어 내기

네 수는 a, 2a, 3a, 4a가 되어 비는 a와 무관하게 1/4, 보기 (C).

n = a → (a,b,c,d) = (a, 2a, 3a, 4a); a/d = a/4a = 1/4 → (C)

정답

1/4

가장 작은 경우를 직접 시험해 보자. 1, 2, 3, 4이다. 차는 1, 1, 1로 양수이고 같으므로 증가하는 등차수열이며, 1, 2, 4는 매번 두 배가 되므로 등비수열이다. 그러면 a/d = 1/4이다. 한 경우를 시험한 것은 확인일 뿐 증명은 아니지만, 증명은 3단계가 맡는다. n(n-a)=0이 다른 선택지 없이 n = a 를 강제했으므로 다른 모양의 네 수는 존재하지 않는다. 오답들이 늘어선 방식도 많은 것을 알려 준다. a/b = 1/2가 (E)이고 a/c = 1/3이 (D)이므로, (D)와 (E)는 엉뚱한 항에서 멈춘 사람이 고르게 되는 값이다. 문제가 어느 문자를 물었는지 다시 읽어야 할 좋은 이유이다. 또 수열이 증가하므로 d ＞ a 이고 따라서 a/d ＜ 1 이어야 하는데 1/4은 이를 만족한다.

💡핵심 정리

겹치는 목록에 서로 다른 규칙 이름이 붙어 있으면 두 규칙을 같은 문자로 적어라. 그렇게 나온 방정식은 대개 근이 둘인데, 어느 근을 버릴지는 부호가 아니라 문제의 문장이 말해 준다.

공차 하나로 네 수 모두 적기
'등비'를 식 하나로 바꾸기
대입하고 두 근을 모두 읽기
네 수를 다시 적고 비를 읽어 내기

공차 하나로 네 수 모두 적기

'등비'를 식 하나로 바꾸기

대입하고 두 근을 모두 읽기

네 수를 다시 적고 비를 읽어 내기

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