AMC 10 · 2003 · #1
학년 3 counting sequences-arithmeticparitypattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
처음 2003개의 짝수의 합에서 처음 2003개의 홀수의 합을 뺀다. 그 차를 구하라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
2003
(E)
4006
풀이 과정
전략 패턴 찾기
2003개짜리 목록 두 개를 각각 더한 뒤 빼는 것은 양이 엄청나고 실수하기 쉽다. 도구 #5(패턴 찾기)로 두 목록이 나란히 간다는 것을 알아챈다: 2는 1 바로 뒤에, 4는 3 바로 뒤에 오는 식이다. 그래서 두 개의 거대한 합을 만드는 대신, 같은 자리끼리 짝을 지어 한 쌍씩 본다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 전체를 2003개의 아주 작은 뺄셈으로 바꾸는데, 그 결과가 모두 같다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 답의 크기를 선택지와 견주어 확인한다.
1STEP 1
두 목록을 같은 자리끼리 짝짓기
각각을 다 더하지 말고 같은 자리끼리 나란히 놓고 뺀다.
(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(4006-4005)
모든 짝수는 같은 자리의 홀수보다 정확히 한 칸 뒤에 있으므로, 한 쌍씩 비교하면 된다.
3.OA.D.9Look For A Pattern2STEP 2
모든 쌍의 차는 정확히 1
각 짝수는 짝보다 정확히 하나 크므로 모든 쌍이 1을 준다.
2-1=1, 4-3=1, 6-5=1, …, 4006-4005=1
연속한 자연수는 항상 1만큼 떨어져 있으므로, 짝수에서 홀수를 뺀 각 쌍은 그냥 1이다.
각 짝수는 같은 자리의 홀수보다 정확히 한 걸음 앞에 있으므로, 모든 짝의 차는 1이다.
▸ 왜?
잇따른 자연수는 1이라는 일정한 간격으로 올라가므로, 이웃한 항의 차는 언제나 1이다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
한 목록의 각 항은 다른 목록에 짝이 정확히 하나씩 있으므로, 남는 것 없이 짝끼리 비교할 수 있다.
일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
2003개의 1을 더하기
1을 2003번 더하면 2003, 보기 (D).
1+1+…+1₂₀₀₃개의 1=2003 × 1 = 2003 → (D)
1을 2003번 더하는 것은 곱하기와 같고, 2003 × 1은 그냥 2003이다.
3.OA.A.1Identify Subproblems정답
2003
짝수 목록이 홀수 목록보다 크므로 차는 반드시 양수여야 한다 — 이것으로 (A) 0이 지워진다. 각 짝의 차는 2가 아니라 1이므로, 총 벌어진 값은 한 쌍당 둘이 아니라 하나다. 이것으로 (E) 4006이 지워지는데, 이는 각 쌍의 차가 2일 때 나오는 값이다. 2003개의 쌍이 각각 1씩 기여하므로 차는 2003이고, 이는 (D)와 일치한다.
💡핵심 정리
긴 목록 두 개를 더해서 빼는 대신 짝을 지어라: 각 짝수는 짝인 홀수보다 딱 1 크므로, 2003쌍이면 차는 2003이다.
- 두 목록을 같은 자리끼리 짝짓기
- 모든 쌍의 차는 정확히 1
- 2003개의 1을 더하기