AMC 10 · 2003 · #10

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

ratio-proportionfraction-multiplicationfraction-arithmetic complementary-countingeasier-related-problem ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

사탕 더미를 Al, Bert, Carl에게 3:2:1의 비로 나누어야 합니다. 세 사람은 서로 다른 시각에 한 명씩 오는데, 각자 눈앞의 더미가 손대지 않은 전체 상품이라고 잘못 믿고, 자기 눈에 보이는 더미에서 자기 몫의 비율만큼 가져갑니다. 세 사람이 모두 다녀간 뒤에 남아 있는 양이 원래 더미의 몇 분의 몇인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{18}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{2}{9}$

(D)

$\frac{5}{18}$

(E)

$\frac{5}{12}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

가져간 세 양을 더하는 방식은 번거롭습니다. 각 양이 앞사람이 이미 얼마나 덜어냈는지에 달려 있기 때문입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 장부를 뒤집습니다. 빠져나가는 것을 좇는 대신 남는 것을 좇습니다. 방문 한 번은 남은 더미에 정해진 생존 비율을 곱할 뿐이고, 정해진 세 수를 곱하는 일은 세 번의 뺄셈을 이어 붙이는 것보다 훨씬 쉽습니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 원래 더미를 1로 두어, "남은 양"과 "남은 비율"을 같은 수로 만들어 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 깔끔한 검산을 줍니다. 사탕 개수를 편리한 자연수로 잡고 이야기를 다시 돌리면, 모든 단계가 분수 없는 단순한 세기가 됩니다.

1STEP 1

비를 몫으로 바꾸기

비는 여섯 부분을 만들므로 몫은 온전한 더미의 1/2, 1/3, 1/6이다.

3+2+1=6 → Al 3/6=1/2, Bert 2/6=1/3, Carl 1/6

2STEP 2

방문마다 남는 몫 좇기

각 방문은 더미를 비율로 줄여 눈앞에 있던 것의 1/2, 2/3, 5/6을 남긴다.

Al은 1/2, Bert는 2/3, Carl은 5/6 을 자기가 본 더미에서 남김

3STEP 3

더미를 순서대로 따라가기

순서대로 따라가면 더미가 1에서 1/2, 1/3을 거쳐 5/18이 된다.

1 → 1/2 → 1/2-1/6=1/3 → 1/3-1/18=5/18

4STEP 4

생존 배율 곱하기

세 배율을 곱하면 순서에 관계없이 같은 5/18이다, 보기 (D).

1·1/2·2/3·5/6=10/36=5/18 → (D)

정답

5/18

답은 0과 1 사이에 엄격히 놓여야 하고, 1/3보다 작아야 합니다. Al과 Bert가 다녀간 뒤 더미의 1/3만 남는데 Carl이 거기서 또 가져가기 때문입니다. 이 위 경계만으로도 (E) 5/12≈ 0.42가 탈락하고, 5/18≈ 0.28은 통과합니다. 또 2/9=4/18보다는 커야 합니다. Carl은 남아 있던 1/3의 육분의 일만 덜어낼 뿐 원래 더미의 1/9을 통째로 가져가지 않기 때문이며, 그래서 (C)는 너무 작고 아주 작은 (A)와 (B)는 한참 작습니다. 가져간 양을 모두 더해도 맞아떨어집니다. 1/2+1/6+1/18=9/18+3/18+1/18=13/18이고, 13/18+5/18=1로 정확히 더미 전체입니다.

💡핵심 정리

사람들이 차례로 남아 있는 것의 몇 분의 몇씩 가져갈 때는, 각 차례마다 살아남는 몫을 좇아서 그 몫들을 곱하면 됩니다.

비를 몫으로 바꾸기
방문마다 남는 몫 좇기
더미를 순서대로 따라가기
생존 배율 곱하기

비를 몫으로 바꾸기

방문마다 남는 몫 좇기

더미를 순서대로 따라가기

생존 배율 곱하기

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