AMC 10 · 2003 · #19

학년 9 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
transformations-compositionpolynomial-substitutionslope-intercept easier-related-problemconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: transformations-composition
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
포물선 y=ax²+bx+c를 x축에 대해 대칭이동한다. 이제 원래 포물선을 가로로 5만큼 한쪽으로, 대칭이동한 포물선을 가로로 5만큼 반대쪽으로 옮긴다. 두 함수를 더한 그래프가 어떤 것인지 말하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
a parabola tangent to the }x\text{-axis
(B)
a parabola not tangent to the }x\text{-axis
(C)
a horizontal line
(D)
a non-horizontal line
(E)
the graph of a cubic function
풀이 과정
전략 변수 도입하기

이 문제는 수가 아니라 곡선의 모양을 묻는다. 그러니 할 일은 f(x)+g(x)의 모양을 찾는 것 하나뿐이다. 먼저 가장 단순한 포물선 y=x²로 싸게 정찰해서(도구 #9) 어떤 종류의 답이 나올지 본다. 다만 이 정찰은 힌트일 뿐이다. y=x²은 b=0, c=0인 특수한 경우이고, 선택지 중 둘은 상수항이나 기울기가 살아남는지에서 갈리므로 특수한 경우 하나로는 판정할 수 없다. 진짜 계산은 a, b, c를 문자로 그대로 둔 채(도구 #4) 두 식을 더하면서 어떤 항이 사라지는지 지켜보는 것이다. 두 이동 방향의 배정이 정해져 있지 않으므로 두 경우를 모두 나열해 확인한다(도구 #2). 마지막으로 얻은 꼴을 다섯 설명과 맞춰 보고 나머지 넷을 지운다(도구 #3).

1STEP 1

가장 단순한 포물선으로 정찰하기

가장 단순한 포물선은 20x를 주지만 힌트일 뿐이다 — 나머지 두 계수를 숨긴다.

f(x)+g(x)=(x+5)²-(x-5)²=20x
2STEP 2

f와 g를 문자로 쓰기

대칭이동은 출력의 부호를, 이동은 입력을 바꿔 p(x+5)와 -p(x-5)가 된다.

f(x)=a(x+5)²+b(x+5)+c, g(x)=-[a(x-5)²+b(x-5)+c]
3STEP 3

더하면서 소거를 지켜보기

더하면 상수와 모든 제곱이 상쇄되어 20ax + 10b가 남는다.

(f+g)(x)=a[(x+5)²-(x-5)²]+b[(x+5)-(x-5)]+(c-c)=20ax+10b
4STEP 4

반대 방향 배정도 확인하기

반대 방향은 부호만 바뀌므로 설명이 그것에 좌우되지 않는다.

p(x-5)-p(x+5)=-(20ax+10b)=-20ax-10b
5STEP 5

그래프에 이름 붙이기

원래가 포물선이라 기울기가 0이 아니므로 수평이 아닌 직선, 보기 (D).

y=20ax+10b, 기울기 20a ≠ 0
정답
수평이 아닌 직선
세 계수가 모두 살아 있는 포물선으로 식을 검산하자. a=2, b=3, c=7로 두면 f(x)=2(x+5)²+3(x+5)+7=2x²+23x+72이고 g(x)=-[2(x-5)²+3(x-5)+7]=-2x²+17x-42이다. 합은 40x+30으로, 정확히 20ax+10b=20(2)x+10(3)이다. 직선이고 기울기 40은 0이 아니므로 주장과 맞는다. c=7은 아무 흔적도 남기지 않았음에 주목하자. 원래 포물선이 위아래 어디에 있는지는 결코 문제가 되지 않으므로, c를 어떻게 잡아도 결과가 수평선으로 납작해지지 않는다. 함정 답은 (C)다. 그러려면 20a=0이어야 하는데, a=0은 처음 곡선이 애초에 포물선이 아니었다는 뜻이다. 선택지 자체도 문제 해석을 뒷받침한다. (A)와 (B)는 접하는지로 갈리는데, 그것은 x² 항이 살아남을 때만 의미가 있고 여기서는 결코 살아남지 않는다.
💡핵심 정리

대칭이동은 포물선의 x² 항 부호를 뒤집고 가로 이동은 그 항을 건드리지 않는다. 그래서 두 곡선을 더하면 x²이 지워지고 기울어진 직선만 남는다.

  • 가장 단순한 포물선으로 정찰하기
  • f와 g를 문자로 쓰기
  • 더하면서 소거를 지켜보기
  • 반대 방향 배정도 확인하기
  • 그래프에 이름 붙이기

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