AMC 10 · 2003 · #20
학년 11 counting답을 골라 클릭하세요.
조건이 모두 금지이므로 먼저 허용으로 뒤집는다(도구 #16). 그러면 모든 덩어리가 두 글자만 쓰게 되어, 각 덩어리는 '자리를 고르는' 단순한 일이 된다. 그다음 문제 전체가 수 하나 — 덩어리 1에 들어가는 B의 개수 — 에 달려 있으므로 그것을 k라 부르고(도구 #4) 따라 나오는 결과를 쫓는다. 각 글자를 전체에서 정확히 다섯 번 써야 한다는 조건이 나머지 개수를 모두 강제하고, 그러면 세 덩어리가 서로 간섭하지 않는 작은 문제 세 개가 되어 답이 곱해진다(도구 #7). k가 다르면 문자열도 다르므로 k=0,1,…,5의 여섯 경우를 나열해 더한다(도구 #2). 마지막에 나머지 네 식과 수로 비교하는 것(도구 #3)은 유도한 식을 검산하는 절차이지 답을 정하는 근거가 아니다.
금지를 두 글자 차림표로 바꾸기
각 금지는 두 글자 차림표를 남기므로 각 덩어리는 두 글자만으로 이뤄진다.
글자가 셋뿐이니 하나를 금지하면 정확히 둘이 남고, 각 덩어리는 세 기호가 아니라 두 기호짜리 무늬가 된다.
10.S-CP.A.1Change Focus Count The Complement수 하나가 문자열 전체를 지배한다
한 개수를 k라 하면 나머지 개수가 모두 강제되고 합계도 맞아떨어진다.
'각 글자 다섯 개'라는 조건이 덩어리들을 고리처럼 엮어 놓아서, 개수 하나를 정하면 나머지가 줄줄이 정해진다.
6.EE.B.6Introduce A Variablek를 고정했을 때의 배열 세기
그러면 각 덩어리는 자리 고르기이므로 고정된 k는 C(5,k)의 세제곱을 기여한다.
한 덩어리에 각 글자가 몇 개 들어가는지 알고 나면 남는 것은 배치뿐이고, 배치는 그냥 조합이다.
11.S-CP.B.9Identify Subproblems여섯 경우 더하기
k의 여섯 값은 겹치지 않으므로 전체는 그 합이다.
개수로 갈라 놓은 경우들은 저절로 겹치지 않고 빠짐도 없으므로, 크기를 그냥 더하면 된다.
정해진 개수로 나눈 경우들은 저절로 서로 떨어져 있고 전체를 덮으므로, 크기를 그냥 더하면 된다.
▸ 왜?
각 배열의 개수는 하나로 정해지므로, 정확히 한 경우에만 들어가고 두 경우에 걸치지 않는다.
▸ 왜?
한 경우 안에서 블록들은 서로 무관하게 채워지므로, 배치는 조합 수의 곱이 된다.
나머지 식들과 대조하기
계산하면 2252로 다른 식과 맞지 않으므로 답은 세제곱의 합, 보기 (A).
유도한 식이라도 수로 한 번 확인해야 한다. 수로 만들면 경쟁하는 모든 식과 한꺼번에 비교할 수 있다.
9.A-SSE.A.1Eliminate Possibilities덩어리마다 빠진 글자가 다르면 개수 하나가 나머지를 전부 결정한다. 그 개수를 정하고 세 덩어리의 선택을 곱한 뒤, 가능한 값마다 더하면 된다.
- 금지를 두 글자 차림표로 바꾸기
- 수 하나가 문자열 전체를 지배한다
- k를 고정했을 때의 배열 세기
- 여섯 경우 더하기
- 나머지 식들과 대조하기
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