AMC 10 · 2003 · #10
학년 8 counting
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그림에서는 다섯 삼각형 자리가 서로 달라 보이지만 오각형 자체의 대칭 때문에 그 자리들은 서로 바꿔 놓을 수 있다. 그러므로 정직한 세기 방법은 모든 선택을 나열한 뒤 어떤 선택들이 사실은 같은 도형인지 판정하는 것이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 두 변을 고르는 열 가지를 빠뜨림도 중복도 없이 만들어 준다. 도구 #1(그림 그리기)은 오각형을 고리 위에 번호가 붙은 다섯 자리로 바꾸는데, 이 문제가 기대는 그림이 바로 그것이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 돌리거나 뒤집어도 변하지 않는 특징, 곧 고른 두 변이 고리에서 얼마나 떨어져 있는가를 찾아낸다. 그 특징으로 분류하는 것이 열 가지 선택을 훨씬 적은 수의 도형으로 줄여 준다. 마지막이자 가장 자주 건너뛰는 단계는, 남은 무리들이 겉모습만이 아니라 정말로 서로 다른지 증명하는 것이다.
고리 위 다섯 자리에 번호 붙이기
자리를 고리를 따라 번호 매기면 도형은 자리 두 개일 뿐이다.
정오각형은 오분의 일 바퀴 돌리거나 뒤집어도 똑같아 보이므로 자리 번호는 기록용일 뿐 진짜 차이가 아니다.
4.G.A.3Draw A Diagram열 가지 선택 모두 나열하기
그런 쌍은 10가지지만 이는 도형이 아니라 선택의 개수다.
모든 선택을 먼저 적어 두는 것은 안전하고, 어느 것이 겹치는지는 짐작하지 말고 따로 판정해야 한다.
7.SP.C.8Make A Systematic List간격으로 분류하면 목록이 접힌다
돌리기와 뒤집기는 간격을 바꾸지 못하고, 다섯 고리에는 간격이 둘뿐이다.
오각형을 돌리면 고른 두 자리가 똑같은 만큼 함께 밀리므로 둘 사이의 간격만 살아남는다.
오각형을 돌리면 고른 두 자리가 같은 만큼 함께 밀리므로, 살아남는 것은 둘 사이의 간격뿐이다.
▸ 왜?
돌리기는 오각형을 자기 복사본 위에 포개므로, 돌린 선택은 새 각도에서 본 같은 선택이다.
▸ 왜?
두 자리를 같은 걸음만큼 옮겨도 둘 사이의 거리는 그대로이므로, 그 거리가 경우를 갈라 준다.
두 무리가 정말 다른 도형임을 보이기
한 간격은 삼각형이 닿고 다른 간격은 떨어지므로 둘은 실제로 다르다, 보기 (B).
돌리기와 뒤집기는 어느 부분이 맞닿아 있는지를 보존하므로, 맞닿았는지 아닌지는 어떤 동작으로도 지울 수 없는 차이이다.
8.G.A.2Draw A Diagram도형을 돌리고 뒤집을 수 있을 때는 그 동작에도 살아남는 특징을 세라. 여기서는 두 삼각형이 맞닿는지 아닌지 하나뿐이며, 우연히 붙인 자리 번호를 세는 것이 아니다.
- 고리 위 다섯 자리에 번호 붙이기
- 열 가지 선택 모두 나열하기
- 간격으로 분류하면 목록이 접힌다
- 두 무리가 정말 다른 도형임을 보이기