AMC 10 · 2004 · #13
학년 8 countinggeometry-2d답을 골라 클릭하세요.
이 문제의 위험은 중복 세기입니다: 대각선 b=a 위에는 점이 세 개 있어서, 쌍을 나열하면 같은 직선을 세 번 찾게 됩니다. 해법은 실제로 세려는 대상인 직선 자체를 나열하되, 같은 직선의 두 복사본이 결코 다를 수 없는 특징으로 분류하는 것입니다. 그 특징이 바로 방향입니다. 두 좌표의 차가 모두 최대 2 이므로 가능한 방향 자체가 몇 개뿐이고, 따라서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 유한하고 확인 가능한 훑기가 됩니다: 각 방향마다 그 방향의 직선을 나열하면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 훑는 동안 격자를 구체적으로 보게 해 줍니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 뒤에서 독립적인 검산을 제공합니다 — 직선 대신 쌍을 세고 중복분을 보정하는 것 — 그래서 서로 다른 두 경로가 일치해야만 개수를 믿습니다.
아홉 개의 점 찍기
아홉 점을 찍는다: 꼭짓점 넷, 변의 중점 넷, 그리고 중심.
아홉 점을 깔끔한 정사각 격자로 보면, 추상적인 집합이 직선을 그어 볼 수 있는 대상이 됩니다.
6.NS.C.6Draw A Diagram가능한 방향은 여덟 가지뿐
좌표 차가 아주 작아 가능한 방향은 여덟 가지뿐이다.
작은 격자는 몇 방향밖에 가리킬 수 없으므로, 무한한 평면이 하나씩 비워 낼 수 있는 여덟 개의 통으로 줄어듭니다.
이렇게 작은 격자에서는 방향이 여덟 가지뿐이므로, 무한한 평면이 여덟 개의 통으로 줄어든다.
▸ 왜?
모든 직선의 방향은 하나로 정해지므로, 정확히 한 통에만 들어가고 두 통에 걸치지 않는다.
▸ 왜?
열과 행이 셋뿐이므로, 그보다 가파른 방향은 격자 안에 아예 들어갈 수 없다.
세로, 가로, 기울기 ± 1 통 훑기
가로, 세로, 두 대각 방향이 12개의 직선을 준다.
방향이 하나로 정해지면 직선은 축을 어디서 지나는지로 결정되므로, 그 몇 안 되는 값만 차례로 확인하면 됩니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List기울기 ± 2와 ±1/2 통 훑기
더 가파르고 완만한 네 방향이 꼭짓점에서 먼 중점으로 8개를 더한다.
가파른 기울기는 가로로 한 칸 가는 동안 격자의 높이를 다 써 버려서, 직선을 놓을 자리가 거의 남지 않습니다.
8.EE.B.6Make A Systematic List합계 낸 뒤 쌍 세기로 검산하기
쌍을 세고 세 점 직선을 보정해도 20으로 확인된다, 보기 (B).
쌍을 세는 것은 쉽지만 중복이 생기고, 붐비는 직선이 얼마나 중복되는지 정확히 알면 그 쉬운 셈이 맞는 셈이 됩니다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement점 쌍을 나열하는 대신 직선을 방향별로 분류하세요: 이 격자가 허용하는 방향은 여덟 개뿐이고, 각 방향 안에서 직선이 놓일 자리는 몇 개 없습니다.
- 아홉 개의 점 찍기
- 가능한 방향은 여덟 가지뿐
- 세로, 가로, 기울기 ± 1 통 훑기
- 기울기 ± 2와 ±1/2 통 훑기
- 합계 낸 뒤 쌍 세기로 검산하기
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