AMC 10 · 2003 · #21

학년 11 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta
polynomial-rootsvieta-formulaspolynomial-factoring work-backwardsguess-and-check ↑ 선수 지식: polynomial-roots
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
다항식 P(x) = x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e의 그래프가 x축과 서로 다른 다섯 점에서 만나고, 그중 한 점이 원점이다. 계수 a, b, c, d, e 중에서 0이 될 수 없는 것이 무엇인지 정하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
a
(B)
b
(C)
c
(D)
d
(E)
e
풀이 과정
전략 변수 도입하기

조건은 전부 근에 대한 것인데 질문은 전부 계수에 대한 것이다. 그러니 근에서 계수로 거꾸로 거슬러 가는 것(도구 #11)이 계획이다. 0이 아닌 네 근에 이름을 붙이고(도구 #4), 원점의 근을 이용해 P를 x 곱하기 사차식으로 쪼개면(도구 #7) 그 사차식의 상수항이 정확히 계수 d가 된다. 이 작은 문제 하나가 d를 결정한다. 하지만 계수 하나가 결코 0이 아님을 보이는 것은 절반일 뿐이다. 질문이 '어느 것이 0이 될 수 없는가'이므로 나머지 후보들은 실제로 0이 될 수 있음을 보여야 한다. 그래서 a=0, c=0, b=0이 되는 다항식을 직접 만들고(도구 #6), e는 0이 될 수 있는 정도가 아니라 반드시 0임을 확인한다. 그러면 나머지 선택지가 모두 지워진다(도구 #3).

1STEP 1

원점이 상수항을 없앤다

원점을 대입하면 상수항만 남아 e는 항상 0이다 — 묻는 것이 아니다.

P(0)=0⁵+a · 0⁴+b · 0³+c · 0²+d · 0+e=e=0
2STEP 2

원점의 근을 떼어 내기

그 근을 묶어 내면 목록이 밀려 d가 새 상수항이 된다.

P(x)=x(x⁴+ax³+bx²+cx+d)=x Q(x)
3STEP 3

d는 0이 아닌 네 수의 곱이다

그 상수는 0이 아닌 네 근의 곱이므로 d는 결코 0이 아니다.

d=Q(0)=r₁r₂r₃r₄ ≠ 0
4STEP 4

나머지 셋은 정말로 0이 될 수 있음을 보이기

구체적인 예가 a, b, c를 각각 0으로 만들므로 셋 다 해당하지 않는다.

x(x²-1)(x²-4)=x⁵-5x³+4x; x(x-1)(x+1)(x-2)(x-1/2)=x⁵-5/2x⁴+5/2x²-x
5STEP 5

다섯을 한자리에 모으기

정확히 하나만 살아남으므로 답은 d, 보기 (D).

e=0 항상; a=b=c=0 각각 가능; d=r₁r₂r₃r₄ ≠ 0
정답
d
대수 대신 그래프에서 결론을 읽어 보자. x=0 근처에서 P(x)=x⁵+…+dx는 직선 y=dx처럼 행동한다. 높은 차수의 항들이 훨씬 빨리 작아지기 때문이다. 만약 d가 0이라면 곡선은 원점에서 x축에 납작하게 붙어 가로지르지 않고 스치게 되는데, 이는 x²이 P를 나눈다는 뜻이고 원점이 중근이라는 뜻이다. 다섯 절편이 모두 다르다는 조건에서는 불가능하다. 그러니 d ≠ 0은 곡선이 원점을 진짜로 뚫고 지나간다는 말과 정확히 같다. 두 예도 수로 확인해 준다. x⁵-5x³+4x는 d=4이고 근이 0,± 1,± 2이며, x⁵-5/2x⁴+5/2x²-x는 d=-1이고 근이 0,1,-1,2,1/2이다. 둘 다 0을 포함한 서로 다른 다섯 실수이므로 조건에 맞는 정당한 예이고 퇴화한 경우가 아니다.
💡핵심 정리

원점을 곧장 뚫고 지나가는 곡선은 그곳에서 기울기가 0이 아니어야 하고, 그 기울기가 바로 x의 계수다. 그래서 d만은 결코 사라질 수 없다.

  • 원점이 상수항을 없앤다
  • 원점의 근을 떼어 내기
  • d는 0이 아닌 네 수의 곱이다
  • 나머지 셋은 정말로 0이 될 수 있음을 보이기
  • 다섯을 한자리에 모으기

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