AMC 10 · 2003 · #23
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
N을 소인수로 쓰기 전에는 아무것도 셀 수 없는데, 아홉 개의 계승을 곧이곧대로 곱하는 것은 가망이 없다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 이를 해결한다. 곱을 계승별로 읽는 대신 수별로 읽어서, 1부터 9까지의 각 수가 아홉 개의 계승 중 몇 개 안에 들어 있는지를 묻는 것이다. 이 재정리 하나로 N은 아홉 개의 단순한 거듭제곱이 된다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 소수를 하나씩 처리한다. 2의 지수, 3의 지수, 5의 지수, 7의 지수 — 큰 장부 정리가 네 번의 작은 덧셈이 되고, 뒤에서는 '완전제곱 약수가 몇 개인가'라는 하나의 어려운 질문을 서로 독립인 네 개의 쉬운 질문으로 갈라 준다. 도구 #4(변수 도입하기)는 일반적인 약수를 2^a3^b5^c7^e로 이름 붙여, 'N을 나눈다'와 '완전제곱수이다'를 둘 다 네 수에 대한 평범한 조건으로 바꾼다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 각 소수에 허용되는 짝수 지수를 나열하고 그 개수를 곱해 마무리한다.
계승별이 아니라 밑별로 다시 묶기
밑별로 다시 묶으면 각 k는 아홉 계승에서 10 빼기 k번 나타난다.
아홉 개의 긴 곱을 펼치는 대신, 작은 수 하나하나에게 어느 계승들 안에 살고 있는지 물어보면 된다.
6.EE.A.1Organize Information In More Ways아홉 개의 밑을 소인수로 쪼개기
모든 밑이 9 이하이므로 나타날 수 있는 소수는 2, 3, 5, 7뿐이다.
9만큼 작은 수 안에 숨을 수 있는 소수는 넷뿐이므로, 거대한 수 전체가 네 개의 지수로 줄어든다.
4.OA.B.4Identify Subproblems소수별 지수 합산하기
소수별로 지수를 모으면 2³⁰ · 3¹³ · 5⁵ · 7³이다.
모든 것이 소수의 거듭제곱이 되고 나면, 곱 전체가 네 개의 누적 합으로 무너진다.
8.EE.A.1Identify Subproblems모든 약수를 기술하기
소인수분해의 유일성에 의해 약수는 그 범위 안의 지수 선택이다.
약수란 각 소수를 얼마나 남길지 정하는 결정, 그 이상도 이하도 아니다.
4.OA.B.4Introduce A Variable약수가 제곱수일 조건 정확히 말하기
제곱수인 것은 모든 지수가 짝수일 때이고, 양방향으로 증명된다.
제곱은 모든 지수를 두 배로 만들므로, 완전제곱수란 곧 지수가 전부 짝수인 수다.
어떤 약수가 완전제곱수라는 것은 그 안의 모든 소수가 짝수 번 나타난다는 것과 정확히 같다.
▸ 왜?
모든 수는 한 가지 방식으로만 소수로 갈라지므로, 제곱하면 각 소수가 나타나는 횟수가 두 배가 된다.
▸ 왜?
두 배는 언제나 짝수에 닿으므로, 어디든 홀수 지수가 하나만 있어도 그 약수는 탈락한다.
짝수 선택지를 세어 곱하기
짝수 선택지 16, 7, 3, 2를 곱하면 672, 보기 (B).
소수마다 따로 결정하므로 선택지의 개수는 곱해진다.
4.OA.A.3Make A Systematic List곱을 다시 써서 각 수가 몇 개의 계승 안에 사는지 드러내면, 제곱 약수란 결국 각 소수를 짝수만큼 덜어낸 것일 뿐이다.
- 계승별이 아니라 밑별로 다시 묶기
- 아홉 개의 밑을 소인수로 쪼개기
- 소수별 지수 합산하기
- 모든 약수를 기술하기
- 약수가 제곱수일 조건 정확히 말하기
- 짝수 선택지를 세어 곱하기