AMC 10 · 2003 · #24
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
식은 서로 무관한 두 수에 달린 것처럼 보이지만 실제로는 그렇지 않다. 이 식은 a와 b가 서로 어떻게 비교되는지에만 반응한다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 몫의 로그를 차로 쪼개어 그 사실을 드러낸다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)가 살아남은 단 하나의 양 t = log_a b에 이름을 붙여 두 변수 문제를 한 변수 문제로 줄인다. 전체가 t만의 함수가 되면, 양수 t에 대해 t + 1/t ≥ 2라는 고전적인 사실로 도구 #14(극단의 원리)가 천장을 제공한다. 최댓값 주장은 천장만으로는 절반만 증명된 것이므로, 도구 #6(추측하고 확인하기)이 그 천장에 실제로 닿는 허용된 쌍을 제시해 마무리한다.
몫의 로그를 쪼개기
각 몫을 쪼개고 밑 규칙을 쓰면 2 빼기 어떤 합으로 줄어든다.
분수의 로그를 뺄셈으로 풀어 놓으면 고정된 부분과 움직일 수 있는 부분이 갈라진다.
11.F-LE.A.4Organize Information In More Ways한 변수로 줄이기
두 로그는 서로 역수이므로 0 ＜ t ≤ 1인 변수 t 하나가 전부를 감당한다.
중요한 것은 ln b와 ln a의 비뿐이므로, 두 수가 지고 있던 정보를 글자 하나가 전부 짊어질 수 있다.
11.F-LE.A.4Introduce A Variable괄호 안을 아래에서 막기
제곱이 음이 아님을 쓰면 합은 2 이상이므로 식은 0 이하다.
어떤 수와 그 역수가 동시에 작아질 수는 없으므로 둘의 합은 아래에서 막히고, 그 합은 둘이 같을 때 가장 작다.
어떤 수와 그 역수가 둘 다 작을 수는 없으므로, 그 합은 아래로 한정되며 둘이 같을 때 가장 작다.
▸ 왜?
곱이 정해진 두 몫 사이에서 옮기면 짝이 더 치우쳐 합이 커지므로, 고른 쪽이 이긴다.
▸ 왜?
괄호에 바닥이 생기면 안쪽이 클수록 바깥도 커지므로, 식 전체가 그 바닥을 물려받는다.
천장에 실제로 닿음을 보이기
등호는 두 수가 같을 때이고 이는 허용되므로 0이 실제로 달성된다, 보기 (B).
a와 b가 같으면 두 로그 모두 1의 로그를 묻는 셈이고, 그것은 언제나 0이다.
11.F-LE.A.4Guess And Check식이 두 수의 비교에만 반응한다면 그 비교를 글자 하나로 이름 붙여라 — 그러면 어떤 수와 그 역수의 합은 결코 2보다 작아지지 않고, 두 수가 같을 때 정확히 2가 된다.
- 몫의 로그를 쪼개기
- 한 변수로 줄이기
- 괄호 안을 아래에서 막기
- 천장에 실제로 닿음을 보이기