AMC 10 · 2003 · #25

학년 9 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

domain-restrictionquadratic-equationscompleting-the-square caseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: domain-restriction

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

함수 f(x) = √(ax² + bx)에 대하여, 적어도 하나의 양수 b가 존재해서 f의 정의역과 f의 치역이 완전히 같은 집합이 되도록 하는 실수 a가 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

풀이 과정

전략 가능성 지우기

a의 부호에 따라 f의 모습이 완전히 달라진다. a ＞ 0이면 근호 안은 위로 열린 포물선, a = 0이면 직선, a ＜ 0이면 아래로 열린 포물선이다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 질문을 세 경우로 나누고, 도구 #3(가능성 지우기)이 각 경우를 결론짓는다. 세 경우가 모두 판정되어야 개수 세기가 완성되며, a = 0은 그 지점에서 a로 나누는 것이 불법이므로 반드시 따로 확인해야 한다. 가장 어려운 a ＜ 0 경우에서는 정의역과 치역이 모두 0에서 시작하는 구간이 되므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 s = √(-a)를 두면 둘을 맞추는 일이 짧은 방정식이 된다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)이 살아남은 각 a를 대수 계산에 맡기지 않고 구체적인 b로 직접 검증한다.

1STEP 1

정의역과 치역의 뜻 적기

제곱근은 안쪽이 음이 아니어야 하고 값도 음이 아니므로 치역은 [0, ∞) 안에 있다.

정의역 = {x : x(ax + b) ≥ 0}, 치역 ⊆ [0, ∞)

2STEP 2

a ＞ 0인 경우: 정의역이 음수로 새어 나간다

최고차항 계수가 양수면 정의역에 음수가 새어 들어와 결코 일치할 수 없다.

a ＞ 0: 정의역 = (-∞, -b/a] ∪ [0, ∞) ∋ -b/a ＜ 0

3STEP 3

a = 0인 경우: 따로 확인하기

0인 경우는 따로 확인해야 하고, 그때 두 집합이 모두 [0, ∞)이라 성립한다.

a = 0: f(x) = √(bx), 정의역 = [0,∞), 치역 = [0,∞)

4STEP 4

a ＜ 0인 경우: 두 집합을 구간으로 구하기

음수면 두 집합은 0에서 시작하는 닫힌 구간이고 완전제곱으로 구해진다 — 맞출 끝점이 둘이다.

a ＜ 0: 정의역 = [0, -b/a], 치역 = [0, b/(2√(-a))]

5STEP 5

두 구간 맞추기

오른쪽 끝을 같게 놓으면 b가 약분되어 정확히 a = -4가 된다.

-b/a = b/(2√(-a)) → 1/s² = 1/2s → s = 2 → a = -4

6STEP 6

검증하고 세기

검증하면 0과 마이너스 4 두 값만 남으므로 개수는 2, 보기 (C).

a = -4, b = 4: 정의역 = 치역 = [0,1]; {a} = {0, -4} → (C) 2

정답

개수는 2이고, 살아남은 두 값 모두 대수 계산이 아니라 직접 대입으로 확인했다. a = 0이면 f(x) = √(bx)로 양쪽 다 [0,∞)이고, a = -4, b = 4이면 양쪽 다 [0,1]이다. 배제하는 쪽도 똑같이 구체적이다. a ＞ 0이면 정의역이 음수 -b/a를 확실히 담는데 제곱근의 치역은 결코 그렇지 않으므로, (E) 무수히 많다는 불가능하고 2보다 큰 어떤 값도 불가능하다. 함정 하나는 이름을 붙여 둘 만하다. a(a + 4) = 0 같은 방정식 하나를 세워 a = 0과 a = -4를 한꺼번에 읽고 싶어지지만, 그 방정식은 a로 나누고 √(-a)를 쓰는 과정에서 나온 것이라 a = 0에서는 의미가 없다. 그렇게 얻은 근 a = 0은 부산물일 뿐이다. a = 0이 실제로 해인 것은 맞지만, 그것은 오직 f(x) = √(bx)에 대한 별도의 확인이 말해 주기 때문이다.

💡핵심 정리

이차항 계수의 부호로 경우를 나누고 각 경우에서 정의역과 치역을 구간으로 구한 다음, 경계인 a = 0은 따로 확인하라 — a로 나눈 식은 a = 0에 대해 아무것도 말해 주지 못한다.

정의역과 치역의 뜻 적기
a ＞ 0인 경우: 정의역이 음수로 새어 나간다
a = 0인 경우: 따로 확인하기
a ＜ 0인 경우: 두 집합을 구간으로 구하기
두 구간 맞추기
검증하고 세기