AMC 10 · 2003 · #6

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
absolute-valueif-then-reasoning casework ↑ 선수 지식: absolute-value
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
모든 실수 x, y에 대해 새로운 연산 ♥을 x ♥ y = |x-y|로 정의한다. 이 연산에 관한 다섯 문장 (A)~(E) 중 넷은 항상 참이다. 참이 아닌 문장 하나를 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$x \heartsuit y = y \heartsuit x \text{ for all } x, y$
(B)
$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y) \text{ for all } x, y$
(C)
$x \heartsuit 0 = x \text{ for all } x$
(D)
$x \heartsuit x = 0 \text{ for all } x$
(E)
$x \heartsuit y > 0 \text{ if } x \neq y$
풀이 과정
전략 가능성 지우기

문제는 어떤 문장이 어긋나는지를 묻는다. 그래서 도구 #3(가능성 지우기)이 정확히 들어맞는다: 다섯 주장을 각각 검사하여 항상 성립하는 것을 버리면 남는 것이 답이다. x ♥ y = |x-y|는 x와 y 사이의 거리일 뿐이므로 네 주장은 빠른 거리 성질(대칭성, 배수, 거리 0, 양의 거리)이며 참으로 확인된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 반증을 이끈다: '모든 x에 대해'라고 주장하는 문장은 어긋나는 수 하나로 무너진다. 도구 #14(극단의 원리)는 그 수를 어디서 찾을지 알려 준다 — 절대값은 음수에서만 값을 바꾸므로, 음의 입력을 넣어 보는 것이 거짓 주장을 드러낼 가능성이 가장 높은 경우이고, 문장 (C)가 바로 거기서 무너진다.

1STEP 1

하트를 거리로 읽기

이 연산은 두 수 사이의 거리일 뿐이므로 결코 음수가 아니다.

x ♥ y = |x-y| = x 에서 y 까지의 거리 ≥ 0
2STEP 2

A, B, D, E가 참임을 확인하기

네 주장은 살아남는다: 거리는 대칭이고 두 배로 늘며 같은 값에서 0, 그 밖에는 양수 — 모두 참이다.

|x-y|=|y-x|; |2x-2y|=2|x-y|; |x-x|=0; x ≠ y → |x-y| ＞ 0
3STEP 3

음수로 문장 C 깨뜨리기

그러나 다섯째는 0과의 연산이 그 수 자체라 하지만, 마이너스 삼에서는 3이 나온다.

x ♥ 0 = |x|; (-3)♥ 0 = |-3| = 3 ≠ -3 → (C)
정답
x ♥ 0 = x for all x
올바른 항등식은 x ♥ 0 = |x|이며, 이는 음이 아닌 x에서는 x와 같지만 음의 x에서는 -x와 같다. 그래서 문장 (C)는 수직선의 절반에서는 참이고 나머지 절반에서는 거짓이다 — '모든' 값에 대한 문장으로는 감당할 수 없는, 딱 '거의 맞는' 종류의 주장이다. 나머지 문장은 모두 거리의 진짜 성질(대칭성, 배수, 같은 점에서 0, 다를 때 양수)이므로, (C)가 유일한 거짓 문장이라는 것은 일관적이다.
💡핵심 정리

'모든' 수에 대해 참이라는 문장은 수 하나만 어긋나도 거짓이고, 절대값에서는 그 수로 음수를 넣어 보면 된다.

  • 하트를 거리로 읽기
  • A, B, D, E가 참임을 확인하기
  • 음수로 문장 C 깨뜨리기

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