AMC 10 · 2003 · #7
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
둘레가 고정된 정수 변 삼각형이 "몇 개"인지 묻는 것은 유한한 세기 문제이므로 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 바로 이런 경우를 위한 것이고, 변을 a ≤ b ≤ c 순서로 쓰면 목록이 중복 없이 완전해진다. 도구 #14(극단의 원리)가 먼저 탐색 범위를 줄인다: 가장 긴 변 c가 가장 빡빡한 제약이며, 삼각형 부등식이 그 크기의 상한을 정해 나열을 시작하기도 전에 c를 하나의 값으로 못 박는다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마지막 걸러 내기를 한다: 정수 변 조합을 나열한 뒤 삼각형 부등식을 어기는 것을 버리고, 남은 것을 센다.
가장 긴 변의 범위 정하기
변을 정렬해 가장 긴 것을 c라 하면 삼각형 조건은 7 빼기 c가 c보다 크다가 된다.
가장 긴 변이 삼각형을 깨뜨릴 가능성이 가장 크므로, 그것을 나머지 두 변과 견주는 것이 가장 날카로운 하나의 점검이다.
가장 긴 변을 나머지 두 변과 견주는 것이 삼각형이 받을 수 있는 가장 날카로운 단일 검사다.
▸ 왜?
두 변을 이어 붙인 길이가 나머지 한 변보다 커야 하며, 그러지 않으면 도형이 직선으로 납작해진다.
▸ 왜?
가장 긴 변을 아래와 위의 한계 사이에 조이면 자연수 하나만 남아, 탐색이 한 경우로 줄어든다.
가장 긴 변을 하나의 값으로 확정하기
c가 가장 길다는 사실과 함께 풀면 c = 3으로 확정되고 나머지 합은 4다.
가장 긴 변을 아래 경계와 위 경계 사이에 끼워 넣으면 자연수는 단 하나만 남아, 전체 탐색이 한 가지 경우로 줄어든다.
6.EE.B.8Extreme Principle변 조합을 나열하고 진짜 삼각형만 남기기
나뉘는 방법은 (1,3,3)과 (2,2,3)이고 둘 다 진짜 삼각형이라 개수는 2, 보기 (B).
가장 긴 변이 정해지면 남는 순서쌍은 몇 개뿐이므로, 짧고 빠짐없는 목록으로 세기가 끝난다.
7.G.A.2Make A Systematic List둘레가 정해진 정수 변 삼각형에서는, 먼저 삼각형 부등식으로 가장 긴 변의 범위를 좁힌 다음, 남는 몇 안 되는 변 조합을 나열하라.
- 가장 긴 변의 범위 정하기
- 가장 긴 변을 하나의 값으로 확정하기
- 변 조합을 나열하고 진짜 삼각형만 남기기