AMC 10 · 2003 · #8

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorsdivisor-countprobability-basic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

60의 양의 약수 하나를 무작위로 뽑습니다. 모든 약수가 뽑힐 확률은 같습니다. 뽑은 약수가 7보다 작을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

이런 확률은 결국 분수 하나이므로, 할 일은 두 번의 개수 세기입니다. 7보다 작은 약수가 몇 개인지(분자)와 약수가 모두 몇 개인지(분모)입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 빠뜨리거나 겹치지 않고 이 두 개수를 얻는 안전한 방법입니다. 60의 약수를 곱이 60이 되는 짝으로 순서대로 적으면, 같은 목록에서 두 개수를 바로 읽을 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 개수를 따로 관리해 분수를 깔끔하게 조립하게 해 줍니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 확인을 줍니다. 각 약수 d를 짝 60/d와 묶으면, 작은 약수와 큰 약수가 정확히 반씩 나뉜다는 것을 보여 줍니다.

1STEP 1

60의 모든 약수 나열하기

곱이 60이 되는 짝으로 만들면 약수는 모두 12개다.

60=1·60=2·30=3·20=4·15=5·12=6·10 → {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}, 12개

2STEP 2

7보다 작은 약수 세기

그중 1부터 6까지가 7보다 작아 정확히 6개다. 7, 8, 9는 약수가 아니다.

{1,2,3,4,5,6} → 7보다 작은 약수 6개

3STEP 3

확률을 분수로 쓰기

약수가 균등하므로 확률은 6/12이다.

P=6/12

4STEP 4

분수 간단히 하기

약분하면 1/2, 보기 (E).

6/12=1/2 → (E)

정답

1/2

12개의 약수 중 정확히 절반인 6개가 7보다 작고, 절반의 확률은 1/2이므로 선택지 (E)와 일치하며, 모든 확률이 그러하듯 0과 1 사이에 있습니다. 빠른 확인: 작은 약수 1,2,3,4,5,6은 7 아래에, 큰 약수 10,12,15,20,30,60은 7 위에 있어 6 대 6으로 완벽하게 나뉩니다.

💡핵심 정리

"약수가 뽑힐 확률" 문제는 곱이 그 수가 되는 짝으로 모든 약수를 나열하고, 원하는 개수와 전체 개수를 센 다음, 분수를 간단히 하면 됩니다.

60의 모든 약수 나열하기
7보다 작은 약수 세기
확률을 분수로 쓰기
분수 간단히 하기

60의 모든 약수 나열하기

7보다 작은 약수 세기

확률을 분수로 쓰기

분수 간단히 하기

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