AMC 10 · 2003 · #9
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
네 대칭은 기하학적 움직임이므로, 도구 #1(그림 그리기)이 이를 눈으로 볼 수 있게 바꿉니다. (2,3)을 찍고, 규칙이 요구하는 모든 대칭점을 찍으면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 그 생성 과정을 정확하게 유지해 줍니다. 답이 개수이므로 한 점을 빠뜨리거나 중복해서 세면 전부 어긋나기 때문입니다. 도구 #14(극단의 원리)는 진짜 할 일을 짚어 줍니다. "최소"라는 말은 서로 다른 두 가지를 확정해야 한다는 뜻입니다. 아래 경계(모든 정당한 S는 적어도 이 점들을 포함한다)와 위 경계(바로 이 점들의 집합 자체가 조건을 만족한다)입니다. 강제되는 점을 찾는 것은 문제의 절반일 뿐이고, 그 이상은 강제되지 않음을 보이는 것이 나머지 절반입니다.
각 대칭을 좌표 규칙으로 쓰기
각 움직임은 좌표 규칙이고, 반 바퀴 회전은 두 축 대칭을 합친 것일 뿐이다.
대칭이란 집합의 모든 원소를 다른 원소로 보내는 규칙이므로, 좌표로 적으면 기하가 직접 계산할 수 있는 산술로 바뀝니다.
8.G.A.3Draw A Diagram점을 규칙에 따라 따라가기
주어진 점을 규칙에 따라 좇으면 (±2,±3)과 (±3,±2)가 모두 강제된다.
대칭 규칙은 한 방향의 요구입니다. 한 점이 들어오는 순간 그 대칭점들은 따라 들어올 수밖에 없습니다.
6.NS.C.8Make A Systematic List여덟 점이 모두 다른지 확인하기
2와 3이 다르고 둘 다 0이 아니므로 이들은 서로 다른 여덟 점이다.
만들어 낸 점들의 개수는 아무것도 겹치지 않았을 때에만 믿을 수 있고, 좌표가 서로 다르고 0이 아니라는 조건이 바로 그것을 보장합니다.
6.NS.C.7Make A Systematic List여덟 점이 닫혀 있는지 확인하기
그 집합에 모든 규칙을 적용해도 새로운 점이 없어 실제로 닫혀 있다.
집합은 모든 규칙이 그 집합을 자기 자신으로 되돌려 보낼 때 정확히 성장을 멈추고, 그 순간이 바로 가장 작은 집합임을 아는 지점입니다.
8.G.A.1Extreme Principle세고 결론 내리기
하한과 예시가 만나므로 최소 크기는 8, 보기 (D).
서로 독립인 선택들이 각 대상을 정확히 한 번씩 만들어 낼 때, 선택의 가짓수를 곱하면 전체가 세어집니다.
여덟 점은 각 좌표의 부호를 고르는 것으로 만들어지므로, 선택이 곱해진다.
▸ 왜?
한 부호의 선택이 다른 부호를 제한하지 않으므로, 모든 부호 조합이 실제로 나타난다.
▸ 왜?
각 대칭은 뒤집기나 돌리기이며, 그런 움직임은 거리를 바꾸지 않고 집합의 한 점을 다른 점으로 옮긴다.
주어진 점에 모든 대칭 규칙을 새로운 점이 나오지 않을 때까지 적용한 다음, 그렇게 얻은 목록 자체가 규칙을 모두 지키는지 확인하면, 그 목록이 가능한 가장 작은 집합입니다.
- 각 대칭을 좌표 규칙으로 쓰기
- 점을 규칙에 따라 따라가기
- 여덟 점이 모두 다른지 확인하기
- 여덟 점이 닫혀 있는지 확인하기
- 세고 결론 내리기