AMC 10 · 2003 · #1
학년 6 arithmetic fraction-arithmeticratio-proportionpattern-recognition identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
하나의 분수 (2-4+6-8+10-12+14)/(3-6+9-12+15-18+21)을 간단히 하여 주어진 값 중 하나와 맞춰라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-1
(B)
$-\frac{2}{3}$
(C)
$\frac{2}{3}$
(D)
1
(E)
$\frac{14}{3}$
풀이 과정
전략 패턴 찾기
부호가 있는 일곱 개의 수를 분자에서, 또 일곱 개를 분모에서 더하는 것은 느리고 실수하기 쉽다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 목록이 같은 수열을 서로 다르게 늘린 것임을 알아챈다 — 분자는 2,4,6,…, 분모는 3,6,9,… — 그래서 분자는 항마다 분모의 일정한 비율이 된다. 그 일정한 비율이 곧 답이며, 음수 덧셈은 전혀 필요 없다. 도구 #3(가능성 지우기)은 부호를 확인한다: 분자와 분모의 부호 패턴이 똑같으므로 몫은 양수가 되어 음수 선택지 (A)와 (B)를 지운다.
1STEP 1
분자와 분모를 나란히 맞추기
두 목록을 나란히 읽는다: 분자는 2의 배수, 분모는 3의 배수이고 부호가 같다.
분자: 2,4,6,8,10,12,14 분모: 3,6,9,12,15,18,21
무엇을 더하기 전에, 분자와 분모가 2와 3으로 만든 같은 패턴임을 알아챈다.
4.OA.B.4Look For A Pattern2STEP 2
분자의 각 항은 분모 항의 2/3
맞춰진 모든 쌍이 음수까지 포함해 같은 분수 2/3을 준다.
2/3=4/6=6/9=8/12=10/15=12/18=14/21
맞춰진 모든 항의 쌍에서 같은 비율 2:3이 나타난다.
4.NF.A.1Look For A Pattern3STEP 3
분자 전체에서 2/3를 빼내기
묶어내면 분모 자체가 남아 약분되어 2/3, 보기 (C).
(2/3(3-6+9-12+15-18+21))/(3-6+9-12+15-18+21)=2/3 → (C)
합의 모든 항에 2/3을 곱하면 합 전체가 2/3 배가 되므로, 비율은 2/3이다.
아래 합의 모든 항에 3분의 2를 곱하면 합 전체가 3분의 2배가 된다.
▸ 왜?
모든 항이 공유하는 인수는 합 전체에서 한 번에 들어낼 수 있다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
모든 부분을 같은 배율로 늘리면 전체도 그 배율이 되므로, 비가 덧셈을 견디고 살아남는다.
비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
정답
2/3
분자와 분모의 부호 패턴이 똑같으므로 분수는 반드시 양수가 되어야 한다 — 이것만으로 (A) -1과 (B) -2/3이 지워진다. 분자의 수(2들)가 맞춰진 분모의 수(3들)보다 작으므로 분수는 1보다 작고, (D) 1과 (E) 14/3이 지워진다. 1보다 작은 양수로 남는 것은 (C) 2/3 뿐이며, 이는 항별 비율과 일치한다.
💡핵심 정리
위쪽 각 항이 바로 아래 항의 같은 분수 배일 때, 그 분수가 전체의 답이다 — 아무것도 더할 필요가 없다.
- 분자와 분모를 나란히 맞추기
- 분자의 각 항은 분모 항의 2/3
- 분자 전체에서 2/3를 빼내기