AMC 10 · 2003 · #12

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
divisibility-rulesmodular-arithmeticmultiples caseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: divisibility-rules
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
다섯 개의 인수 n+1, n+3, n+5, n+7, n+9를 곱하면 하나의 수가 됩니다. n이 양의 짝수를 차례로 지나갈 때 이 곱은 계속 바뀝니다. 어떤 양의 짝수 n을 골라도 항상 이 곱을 나누는 가장 큰 정수를 찾으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
5
(C)
11
(D)
15
(E)
165
풀이 과정
전략 가능성 지우기

선택지가 정해진 짧은 목록이므로, 항상 나누는 것 중 가장 큰 것을 남기고 나머지를 지우는 것이 목표입니다 (도구 #3). 먼저 식을 다시 정리합니다. n이 짝수이므로 다섯 인수는 다섯 개의 연속한 홀수입니다 (도구 #15). 그러면 문제 전체가 연속한 홀수에 관한 사실로 바뀝니다. 다음으로 배수가 반복되는 구조를 봅니다 (도구 #5). 다섯 개의 연속한 홀수 중에는 항상 5의 배수가 정확히 하나, 3의 배수가 적어도 하나 있습니다. 그래서 3과 5, 따라서 15가 모든 곱을 나눕니다. 더 큰 선택지 11과 165는 둘 다 11이라는 인수가 필요하므로, 잘 고른 짝수 하나를 시험합니다 (도구 #6). 어떤 곱에 11의 배수가 하나도 없으면 둘 다 제외됩니다. 살아남은 것 중 가장 큰 것이 정답입니다.

1STEP 1

다섯 개의 연속한 홀수 보기

n이 짝수이므로 다섯 인수는 연속한 다섯 홀수다.

n=2: 3,5,7,9,11 n=8: 9,11,13,15,17
2STEP 2

항상 하나는 5의 배수

5로 나눈 나머지가 다섯 값을 모두 덮으므로 하나는 항상 5의 배수다.

5로 나눈 나머지: {0,1,2,3,4} → 5의 배수가 정확히 하나
3STEP 3

항상 하나는 3의 배수

3에 대해서도 같은 논증으로 3의 배수가 강제되어 15가 항상 나눈다.

3 ∣ 곱 그리고 5 ∣ 곱 → 15 ∣ 곱
4STEP 4

예 하나로 11 시험하기

그러나 n = 12에서는 인수가 11을 전혀 포함하지 않아 더 큰 후보가 무너진다.

n=12: 13,15,17,19,21 — 어느 것도 11로 나누어지지 않음
5STEP 5

항상 나누는 가장 큰 약수 남기기

따라서 항상 나누는 가장 큰 약수는 15, 보기 (D).

A,B ＜ 15; C,E는 11 필요 (실패) → (D) 15
정답
15
15 = 3·5이고, 다섯 홀수 인수 중에 항상 3의 배수와 5의 배수가 있음을 보였으므로 15는 모든 곱을 진짜로 나눕니다 — 우연히 맞은 것이 아닙니다. 또한 가능한 것 중 가장 큽니다. 11과 165는 n=12 (인수 13,15,17,19,21, 11의 배수 없음)에서 죽고, 3과 5는 15보다 작습니다. 15보다 큰 것도 강제되지 않습니다. n=10은 11·13·15·17·19을 주는데, 여기서 유일한 3의 인수와 유일한 5의 인수가 모두 하나뿐인 15에서 나오므로 두 번째 3이나 5는 보장되지 않습니다. 그래서 정답은 정확히 15로 고정됩니다.
💡핵심 정리

나란히 이어진 다섯 홀수는 항상 3의 배수와 5의 배수를 숨기고 있어서 15는 항상 나눕니다 — 하지만 11은 빠질 수 있으니 그보다 큰 것은 보장되지 않습니다.

  • 다섯 개의 연속한 홀수 보기
  • 항상 하나는 5의 배수
  • 항상 하나는 3의 배수
  • 예 하나로 11 시험하기
  • 항상 나누는 가장 큰 약수 남기기

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