AMC 10 · 2003 · #17
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
로그가 복잡해 보이는 이유는 x와 y가 그 안에 들어가 있기 때문뿐입니다. 곱과 거듭제곱 법칙으로 주어진 식을 쪼개면, 모든 방정식이 log x와 log y라는 두 양에 대한 일차식이 됩니다 (도구 #13). 그 두 양을 a와 b로 다시 이름 붙이면 문제는 더 이상 로그처럼 보이지 않고 2 × 2 연립일차방정식처럼 보입니다 (도구 #4, 도구 #15). 그러면 목표인 log(xy)는 a+b, 즉 개별 미지수가 아니라 조합이므로, a와 b를 따로 구하는 대신 두 방정식의 배수를 더해서 a+b의 배수를 만드는 방법을 찾습니다 (도구 #16). 그 뒤 연립방정식을 끝까지 푸는 것은 값싼 독립 검산입니다.
로그를 조각으로 쪼개기
곱을 쪼개면 주어진 두 식이 로그 둘의 단순한 합이 된다.
로그는 곱셈을 덧셈으로, 지수를 계수로 바꾸므로 모든 곱이 곧은 합으로 펴집니다.
로그는 곱셈을 덧셈으로, 지수를 계수로 바꾸어 곱을 합으로 납작하게 편다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 썼는지를 세므로, 한 밑의 거듭제곱을 곱하면 그 횟수가 더해진다.
▸ 왜?
되풀이된 인수는 지수에서 자기 자신을 더한 것이며, 그래서 거듭제곱이 평범한 계수가 된다.
연립일차방정식으로 이름 바꾸기
이름을 바꾸면 로그가 사라진 평범한 연립일차방정식이 된다.
로그에 a와 b라는 이름을 붙이는 순간, 중학생도 풀 수 있는 연립방정식이 됩니다.
8.EE.C.8Introduce A Variable합을 곧장 겨누기
하나를 두 배 해 더하면 두 계수가 모두 5가 되어 5(a+b) = 3이다.
조합 하나만 필요할 때는 각 미지수를 쫓지 말고 그 조합을 직접 만들어 냅니다.
9.A-SSE.A.2Change Focus Count The Complement나누고, 그런 짝이 실제로 있는지 확인하기
나누면 3/5이고, 끝까지 풀면 그런 x, y가 실제로 존재함이 확인된다, 보기 (D).
실제 x와 y를 찾아내면 그 조합이 정말로 이루어질 수 있음이 증명됩니다. 텅 빈 가정에서 따라 나온 값이 아닙니다.
9.A-REI.C.6Convert To Algebra로그는 곱을 합으로 바꾸므로 log x와 log y는 평범한 두 미지수가 됩니다. 그리고 그 둘의 합만 필요하다면 각각을 구하지 말고 방정식을 조합해 그 합을 바로 만들면 됩니다.
- 로그를 조각으로 쪼개기
- 연립일차방정식으로 이름 바꾸기
- 합을 곧장 겨누기
- 나누고, 그런 짝이 실제로 있는지 확인하기