AMC 10 · 2003 · #18
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
여기 나오는 수는 너무 커서 적을 수조차 없지만 중요한 것은 소수의 지수뿐이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그 지수에 이름을 붙인다 — x 안의 7의 개수를 c, 11의 개수를 d라 하자. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 하나의 거대한 식을 소수마다 하나씩의 작은 식으로 나눈다. 소인수분해가 유일하므로 지수는 소수별로 따로 맞아야 하기 때문이다. "최소"라는 말이 요구하는 것이 바로 도구 #14(극단의 원리)다 — 각 지수에는 허용되는 가장 작은 값이 있고, 모든 지수를 그 한계까지 내리는 것이 곧 x를 최소로 만드는 방법이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 각 작은 식을 마무리한다 — 5c+1=13m은 후보가 몇 개 없어서 m=1,2,3,…을 걸어가 보면 금방 결정된다.
소수 하나씩 비교하기
소인수분해의 유일성으로 각 소수를 따로 맞출 수 있어 식 하나가 작은 여러 식이 된다.
두 수가 같으려면 같은 소수를 같은 개수만큼 품고 있어야 하므로, 소수를 하나씩 따로 확인할 수 있다.
두 수가 같으려면 같은 소수를 같은 개수로 지녀야 하므로, 소수를 하나씩 확인하면 된다.
▸ 왜?
모든 수는 정확히 한 가지 방식으로 소수로 갈라지므로, 그 소수의 개수는 다른 무엇과도 겹치지 않는 지문이다.
▸ 왜?
한 소수에 대해 같은 두 거듭제곱은 지수가 같아야 하므로, 소수마다 평범한 방정식 하나씩이 나온다.
7과 11 말고 다른 소수는 손해다
다른 소수는 지수가 매우 커야 하므로 최소의 x는 지정된 두 소수만 쓴다.
새 소수는 열세 개씩 묶음으로만 들어올 수 있는데, 아무 이득 없이 치르기엔 너무 큰 값이다.
4.OA.B.4Extreme Principle양변을 지수 꼴로 쓰기
양변을 거듭제곱으로 쓰고 맞추면 합동식 둘이 나온다.
같은 소수의 거듭제곱끼리 곱하면 지수가 더해질 뿐이라, 식 전체가 두 개의 계수기 계산으로 바뀐다.
8.EE.A.1Introduce A Variable5c+1이 13의 배수가 되는 최소의 c
하나씩 올려 보면 첫 소수의 최소 지수는 5이다.
정수 미지수가 둘인 식 하나는, 작은 쪽 배수를 한 칸씩 올려 반대편이 딱 나누어떨어질 때까지 걸어가면 풀린다.
8.EE.C.8Guess And Check5d-1이 13의 배수가 되는 최소의 d
같은 방법으로 둘째 지수는 8이다.
두 번째 소수에도 똑같은 걸어가기 탐색이 통하고, 남는 +1만 반대편으로 옮겨갈 뿐이다.
8.EE.C.8Guess And Check최소임을 확인하고 더하기
짝이 되는 상대를 제시해 확인하면 네 수의 합은 31, 보기 (B).
실제로 도달되는 하한은 곧 최솟값이므로, 성립하는 쌍 하나를 보이면 증명이 끝난다.
6.EE.A.1Extreme Principle소수들의 곱 두 개가 같을 땐 소수를 하나씩 세어 보라. 가장 작은 수는 모든 지수를 허용되는 최저값까지 내린 수다.
- 소수 하나씩 비교하기
- 7과 11 말고 다른 소수는 손해다
- 양변을 지수 꼴로 쓰기
- 5c+1이 13의 배수가 되는 최소의 c
- 5d-1이 13의 배수가 되는 최소의 d
- 최소임을 확인하고 더하기