AMC 10 · 2003 · #21
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 트는 각을 제대로 그리는 데 전부가 걸려 있다(도구 #1). '각 α만큼 튼다'와 'B에서의 삼각형 내각'은 서로 다른 각이고, 이 둘을 섞으면 답이 되는 구간이 뒤집히기 때문이다. 그림이 맞으면 A와 B를 좌표축 위에 놓고 C를 α로 나타낸다(도구 #4). 그러면 거리 공식이 기하 조건 AC ＜ 7을 cosα에 대한 평범한 부등식으로 바꿔 준다(도구 #13). 그 부등식을 푸는 일은 AC가 정확히 7이 되는 경계각을 찾고 어느 쪽이 조건을 만족하는지 보는 일이다(도구 #14). 마지막으로 α가 고르게 뽑히므로 확률을 생각하는 대신 길이를 재면 된다. 답은 조건을 만족하는 각들의 길이를 π로 나눈 값이다(도구 #16).
삼각형 내각이 아니라 트는 각을 그리기
무작위인 각은 트는 각이므로 삼각형 B의 각은 그 보각이다.
아예 틀지 않는다는 것은 곧장 간다는 뜻이므로, 트는 각이 0이면 거리가 가장 짧아지는 것이 아니라 가장 길어져야 한다.
7.G.B.5Draw A DiagramC를 좌표로 나타내기
좌표로 두면 삼각함수가 AC² = 89 + 80cosα로 정리된다.
두 번째 구간 중에서 출발점으로부터의 거리를 바꾸는 것은 앞으로 나아간 성분뿐이고, 그 성분이 5cosα이다.
8.G.B.8Introduce A Variable조건을 부등식으로 바꾸기
제곱끼리 비교하면 조건이 cosα ＜ -1/2가 된다.
양변이 모두 길이이므로 제곱해도 안전하고, 그러면 거리 공식이 남긴 제곱근이 사라진다.
양변이 모두 길이이므로 제곱해도 안전하며, 거리가 남긴 근호가 지워진다.
▸ 왜?
제곱은 음이 아닌 두 수의 순서를 지키므로, 길이의 비교가 그대로 살아남는다.
▸ 왜?
거리 자체는 직각삼각형이 두 변을 합치는 방식으로 두 좌표 차를 합친 것이다.
경계각 찾기
코사인이 구간 내내 감소하므로 조건을 만족하는 각은 한 구간을 이룬다.
(0,π)에서 코사인은 한 방향으로만 움직이므로, 경계값 하나가 구간을 안 되는 쪽 하나와 되는 쪽 하나로 정확히 잘라 준다.
11.F-TF.A.2Extreme Principle조건을 만족하는 구간의 길이 재기
고르게 뽑으므로 확률은 길이와 같아 답은 1/3, 보기 (D).
고르게 뽑을 때 사건은 수직선의 한 조각일 뿐이고, 확률은 그 조각이 전체에서 차지하는 비율이다.
10.S-CP.A.1Change Focus Count The Complement각을 고르게 무작위로 뽑으면 확률은 길이가 된다. 조건을 만족하는 각의 구간을 찾아서 전체 범위의 몇 분의 몇인지 보면 된다.
- 삼각형 내각이 아니라 트는 각을 그리기
- C를 좌표로 나타내기
- 조건을 부등식으로 바꾸기
- 경계각 찾기
- 조건을 만족하는 구간의 길이 재기
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