AMC 10 · 2003 · #23

학년 11 algebracounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

periodic-functionconsecutive-integer-countinterval-arithmetic easier-related-problemestimation ↑ 선수 지식: trigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

x가 열린구간 (0.0001, 0.001)을 지날 때 곡선 y = sin(1/x)이 x축과 몇 번 만나는지 세고, 그 개수가 주어진 다섯 수 중 어느 것에 가장 가까운지 답하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2900

(B)

3000

(C)

3100

(D)

3200

(E)

3300

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

0 근처의 아주 짧은 구간에서 sin(1/x)의 진동을 세는 일은 어렵다. 물결이 서로 짓눌려 있고 간격도 고르지 않기 때문이다. u = 1/x이라 이름 붙이면(도구 #4) 훨씬 쉬운 문제로 바뀐다. 영점 간격이 고른 넓은 구간에서 보통의 사인함수의 영점을 세는 문제가 되는 것이다(도구 #9). 이 교환은 어떤 절편도 잃거나 겹쳐 세지 않아야 정당하므로, 그 대응이 일대일인지 확인해야 한다. 그다음에는 사인의 영점이 언제까지나 π의 배수라는 익숙한 패턴(도구 #5)이 문제를 어떤 범위 안의 정수를 세는 일로 바꿔 주는데, 이는 양 끝을 조심해서 세는 일이다(도구 #2). 마지막으로 정확한 개수를 다섯 선택지와 비교한다(도구 #3). 문제가 묻는 것은 가장 가까운 수뿐이기 때문이다.

1STEP 1

절편이 무엇인지 정확히 쓰기

절편은 함숫값이 0인 곳이므로 이 문제는 세기 문제다.

개수 = #{ x ∈ (0.0001, 0.001) : sin(1/x) = 0 }

2STEP 2

u = 1/x으로 치환하기

역수 치환은 일대일 감소함수라 범위가 (1000, 10000)으로 바뀐다.

u = 1/x, x ∈ (0.0001, 0.001) ⇔ u ∈ (1000, 10000)

3STEP 3

사인의 영점은 파이의 배수

사인은 정확히 파이의 배수에서 0이고 간격이 일정하므로 정수를 세면 된다.

sin u = 0 ⇔ u = nπ, n ∈ Z; 개수 = #{ n ∈ Z : 1000 ＜ nπ ＜ 10000 }

4STEP 4

양 끝을 못 박기

네 이웃을 직접 확인하면 범위는 319부터 3183까지로 확정된다.

318π ≈ 999.03 ＜ 1000 ＜ 1002.17 ≈ 319π; 3183π ≈ 9999.69 ＜ 10000 ＜ 10002.83 ≈ 3184π

5STEP 5

세고 비교하기

절편은 2865개이고 2900에 가장 가깝다, 보기 (A).

3183 - 319 + 1 = 2865, |2865 - 2900| = 35

정답

2900

끝점 계산을 전혀 쓰지 않는 밀도 추정으로 개수를 확인해 보자. sin u의 영점은 정확히 π 간격이므로 길이 10000 - 1000 = 9000인 구간에는 약 9000/π ≈ 2864.79개가 들어 있고, 간격이 일정하다는 사실에서 실제 개수는 이 추정값과 최대 1만큼만 차이 날 수 있다. 정확한 개수 2865는 추정값과 0.21밖에 차이 나지 않으므로 두 방법이 일치한다. 세 번째 방법으로도 확인된다. 어떤 값 M 이하의 π의 배수 개수는 ⌊ M/π ⌋이므로 개수는 ⌊ 10000/π ⌋ - ⌊ 1000/π ⌋ = 3183 - 318 = 2865이다. 절편을 x의 값으로 적어 양 끝을 다시 확인할 수도 있다. 가장 큰 것은 x = 1/319π ≈ 0.0009978로 0.001 바로 아래이고, 가장 작은 것은 x = 1/3183π ≈ 0.00010000으로 0.0001 바로 위이다. 둘 다 열린구간 안에 확실히 들어 있다. 또한 선택지들이 100씩 떨어져 있는데 개수는 2865이므로 (A)만이 100 안에 들어온다. '가장 가까운'이라는 표현이 여기서는 안전하고 아슬아슬한 동점을 숨기고 있지 않다.

💡핵심 정리

1/x을 하나의 변수로 바꾸면 짓눌린 물결이 고른 간격으로 펴지고, 그다음은 두 경계 사이의 정수를 세는 일일 뿐이다.

절편이 무엇인지 정확히 쓰기
u = 1/x으로 치환하기
사인의 영점은 파이의 배수
양 끝을 못 박기
세고 비교하기

절편이 무엇인지 정확히 쓰기

u = 1/x으로 치환하기

사인의 영점은 파이의 배수

양 끝을 못 박기

세고 비교하기

비슷한 유형 더 풀어보기