AMC 10 · 2003 · #25

학년 10 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Volume

geometric-probabilityarc-measureequilateral-triangle caseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원 위에 점 세 개를 무작위로 떨어뜨린다. 각 점은 어디에나 같은 확률로, 서로 독립적으로 놓인다. 세 점 사이에는 세 개의 직선거리가 생긴다. 이 세 거리가 모두 원의 반지름보다 짧을 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{36}$

(B)

$\dfrac{1}{24}$

(C)

$\dfrac{1}{18}$

(D)

$\dfrac{1}{12}$

(E)

$\dfrac{1}{9}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

원 위 두 점 사이의 거리는 중심에서 본 각이 결정한다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)과 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 세 현의 길이를 세 각으로 바꾼다. 현이 반지름보다 짧은 것은 중심각이 60° 미만인 경우와 정확히 같다. 남은 세 조건은 세 쌍이 한꺼번에 얽혀 있어 다루기 까다롭다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이 매듭을 푼다. 세 거리를 지켜보는 대신, 나머지 두 점이 어느 한 점을 뒤따르는지를 본다. 그러면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 사건을 앞선 점이 누구인지에 따라 세 경우로 나눌 수 있고, 이 세 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 확률을 그냥 더하면 된다.

1STEP 1

현이 반지름보다 짧다는 것은 60도 미만

현이 반지름과 같아지는 것은 중심각이 60도일 때이므로, 더 짧다는 것은 각이 60도 미만이라는 뜻이다.

PQ ＜ r ⇔ θ ＜ 60° (θ=60°이면 △ OPQ가 정삼각형)

2STEP 2

모든 조건을 각으로 다시 쓰기

각으로 다시 쓰면 문제에서 반지름이 사라진다.

성공 ⇔ 세 쌍의 각거리가 모두 ＜ 60°=1/6 · 360°

3STEP 3

세 점이 짧은 호 하나에 모여야 한다

가장 큰 틈이 원의 3분의 1 이상이므로 세 점은 짧은 호 하나에 모여야 한다.

g₁+g₂+g₃=360°, G ≥ 120° → 360°-G ＜ 60°

4STEP 4

누가 앞서는지로 세기

어느 점이 그 호를 이끄는지 물으면 사건이 서로 배타적인 세 경우로 갈린다.

성공 =E₁∪ E₂∪ E₃이고 E₁,E₂,E₃은 서로 배반

5STEP 5

같은 크기의 세 경우 더하기

각 경우의 확률이 36분의 1이므로 합은 1/12, 보기 (D).

P=3(1/6)²=3/36=1/12→(D)

정답

1/12

60° 호 대신 반원으로 같은 논법을 쓰면 3(1/2)²=3/4이 나오는데, 이는 무작위 세 점이 어떤 반원 안에 들어갈 고전적인 확률의 알려진 값과 일치한다. 세는 방식이 제대로 세워졌다는 좋은 증거다. 크기도 그럴듯하다. 독립인 세 점이 원의 1/6 안에 몰리기를 요구하는 것은 드문 일이고, 1/12≈ 0.083은 지나치게 작지 않으면서 드문 값이다. 무작위 세 점을 이백만 번 모의실험하면 성공률이 약 0.0831로 1/12과 맞아떨어진다. 비슷한 오답들의 출처도 짚을 수 있다. 1/36은 앞선 점을 고르는 세 가지 경우를 빠뜨린 값이고, 1/9은 더 넓은 호에서 겹침을 보정하지 않고 세 점을 각각 앞선 점으로 세었을 때 나오는 값이다.

💡핵심 정리

현이 반지름보다 짧다는 것은 두 점이 60°보다 가깝다는 뜻이므로, 문제는 결국 세 점이 원의 1/6 안에 모두 모이는가를 묻는 것이다.

현이 반지름보다 짧다는 것은 60도 미만
모든 조건을 각으로 다시 쓰기
세 점이 짧은 호 하나에 모여야 한다
누가 앞서는지로 세기
같은 크기의 세 경우 더하기

현이 반지름보다 짧다는 것은 60도 미만

모든 조건을 각으로 다시 쓰기

세 점이 짧은 호 하나에 모여야 한다

누가 앞서는지로 세기

같은 크기의 세 경우 더하기

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