AMC 10 · 2003 · #7
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
같은 동전 더미에 대해 개수와 금액이라는 두 가지 사실이 주어졌으므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 각 사실을 식 하나로 바꾸고 둘을 합쳐 쓴다. 묻는 것은 다임뿐이지만 도구 #4(변수 도입하기)로 세 개수를 모두 이름 붙인다. 개수를 맞춰 주는 것은 니켈이고, 다임의 개수를 밀어 움직이는 것은 쿼터이기 때문이다. 식 두 개로 미지수 셋을 정할 수는 없으므로 가능한 동전 더미가 한 무리를 이룬다. 도구 #14(극단의 원리)는 그 무리의 양쪽 끝만 묻는데, 문제에 필요한 것이 딱 그것이다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 작지만 꼭 필요한 첫 수를 둔다. 달러가 아니라 센트로 계산하면 눈에 보이는 모든 수가 정수가 된다.
달러 대신 센트로 계산하기
센트로 계산하면 모든 수가 정수가 되어 합계는 835다.
센트로 바꾸면 모든 양이 정수가 되고, 뒤에 나오는 세기 논증이 힘을 갖는 이유가 바로 그것이다.
4.MD.A.2Analyze The Units세 개수에 모두 이름 붙이기
세 개수에 이름을 붙이면 개수 식과 금액 식이 나온다.
한 식은 동전을 세고 다른 식은 돈을 세며, 같은 더미가 두 식을 동시에 만족해야 한다.
7.EE.B.4Introduce A Variable니켈 없애기
5로 나누고 빼면 니켈이 사라져 b + 4c = 67이 남는다.
금액 식을 줄인 뒤 개수 식을 빼면 니켈이 지워지고, 다임과 쿼터 사이의 깔끔한 관계 하나만 남는다.
돈의 총액을 배로 늘린 것에서 동전 개수를 빼면 5센트짜리가 지워지고 깔끔한 관계 하나만 남는다.
▸ 왜?
두 진술이 같은 더미를 설명하므로, 하나에서 다른 하나를 빼도 여전히 성립한다.
▸ 왜?
더미의 값어치는 동전의 값을 더한 것이므로, 개수와 값어치는 한 가지에 대한 두 가지 참된 설명이다.
니켈이 음수가 되지 않는지 확인하기
되짚어 보면 니켈은 33 더하기 3c로 항상 양수라 막히는 것이 없다.
변수를 소거하면 보이지 않게 될 뿐 사라지는 것은 아니므로, 숨은 개수가 여전히 유효한지 확인해야 한다.
7.EE.A.1Convert To Algebrac 를 양쪽 끝까지 밀어 보기
쿼터를 양쪽 끝까지 밀면 다임은 3부터 67까지, 차이는 64, 보기 (D).
쿼터가 늘수록 다임이 일정하게 줄어들므로, 두 극단은 정수 조건이 허락하는 가장 작은 쿼터 수와 가장 큰 쿼터 수에 있다.
6.EE.B.5Extreme Principle식 두 개로 미지수 셋을 정할 수 없을 때는 관계 하나로 줄인 뒤 남은 미지수를 양쪽 끝까지 밀어 보라. 답은 가운데가 아니라 끝에 있다.
- 달러 대신 센트로 계산하기
- 세 개수에 모두 이름 붙이기
- 니켈 없애기
- 니켈이 음수가 되지 않는지 확인하기
- c 를 양쪽 끝까지 밀어 보기