AMC 10 · 2003 · #8
학년 2 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
조건이 겹쳐 있다. 바깥쪽 ♣이 안쪽 결과에 다시 작용한다. 그래서 거꾸로 풀기(도구 #11)로 접근한다. 안쪽 자리합을 s = ♣(x)라 이름 붙이고, 먼저 어떤 s가 ♣(s) = 3을 만족하는지 묻는다. 이 탐색을 유한하게 만들기 위해 경계값을 확인해서(도구 #14) s의 범위를 정한다. 두 자리 수의 자리 숫자 합은 최대 9+9=18이므로 s는 1부터 18 사이에 있다. 그러면 바깥쪽 조건은 허용되는 안쪽 합이 s=3과 s=12 두 가지뿐이 된다. 이제 문제는 서로 독립적인 두 개의 세기 부분 문제로 나뉘고(도구 #7), 각각은 짧은 나열(도구 #2)로 풀린다. 자리 숫자 합이 3인 두 자리 수를 세고, 12인 두 자리 수를 센 뒤 두 개수를 더한다.
안쪽 합에 이름 붙이고 범위 정하기
두 자리 수의 안쪽 합은 1과 18 사이에 있다.
두 자리 수의 자리합이 도달할 수 있는 최댓값은 9+9=18이므로 안쪽 값은 결코 1–18을 벗어나지 못한다.
두 자리 수의 자릿수 합은 18을 넘을 수 없으므로, 안쪽 값이 좁은 범위에 갇힌다.
▸ 왜?
두 자리 수에는 숫자가 정확히 둘 있고 각각 많아야 9이므로, 합은 많아야 9의 두 배다.
▸ 왜?
그 한계를 넘는 것은 불가능하므로, 탐색이 그 너머를 볼 필요가 없다.
어떤 안쪽 합이 조건을 만족하는지 찾기
그 범위에서 자리합이 3인 값은 3과 12뿐이다.
18 이하로 유지하면 자리 숫자가 더해서 3이 되는 값은 3과 12뿐이다.
2.OA.B.2Work Backwards자리 숫자 합이 3인 두 자리 수 세기
자리합이 3인 두 자리 수는 3개다.
목표 합이 작으면 십의 자리는 1, 2, 3만 가능하므로 수는 세 개뿐이다.
1.NBT.B.2Make A Systematic List자리 숫자 합이 12인 두 자리 수 세기
자리합이 12인 것은 7개다.
일의 자리는 최대 9이므로 십의 자리가 적어도 3이어야 하고, 그러면 정확히 3부터 9까지 일곱 값이 남는다.
1.NBT.B.2Make A Systematic List두 개수 더하기
두 경우는 겹칠 수 없으므로 합은 10, 보기 (E).
두 자리합 경우가 서로 별개이므로 개수는 그냥 더하면 된다.
2.OA.A.1Identify Subproblems바깥에서 안으로 거꾸로 생각하자. 첫 자리합이 무엇이어야 하는지(3 또는 12) 알아낸 뒤, 각각에 맞는 두 자리 수를 나열하고 개수를 더한다.
- 안쪽 합에 이름 붙이고 범위 정하기
- 어떤 안쪽 합이 조건을 만족하는지 찾기
- 자리 숫자 합이 3인 두 자리 수 세기
- 자리 숫자 합이 12인 두 자리 수 세기
- 두 개수 더하기