AMC 10 · 2003 · #9

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

slope-interceptfunction-evaluationrate convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: slope-intercept

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

f 는 일차함수이다. 즉 그래프가 직선이다. 입력이 2에서 6으로 갈 때 출력은 12만큼 올라간다. 입력이 2에서 12로 갈 때 출력이 얼마나 올라가는지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

함수 자체는 주어지지 않고 그에 관한 사실 하나만 주어졌다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모르는 직선을 f(x)=mx+b 로 쓰고 두 상수에 모두 이름을 붙이면 핵심 사건이 눈에 보인다. 어떤 차 f(q)-f(p) 에서도 b 가 지워지므로, 빠진 정보는 애초에 필요하지 않았던 것이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 그 소거가 일어나는 이유를 준다. 직선에서는 같은 구간이면 언제나 같은 상승이 생긴다는 것이고, 여기서 공식 없이 같은 값에 이르는 두 번째 길도 나온다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막에 쓰인다. 오답 선택지 하나하나가 특정한 배율 실수와 정확히 맞아떨어지기 때문이다.

1STEP 1

직선에 이름 붙이기

직선을 일반형으로 쓴다; 기울기도 높이도 주어지지 않았다.

f(x)=mx+b, m,b 는 고정된 미지수

2STEP 2

차를 만들면 높이 b 는 지워진다

출력의 차에서는 높이가 상쇄되어 기울기 곱하기 간격만 남는다.

f(q)-f(p)=(mq+b)-(mp+b)=m(q-p)

3STEP 3

주어진 사실에서 기울기 읽기

간격 4에서의 상승이 주어졌으므로 기울기는 3이다.

f(6)-f(2)=m(6-2)=4m=12 ⟹ m=3

4STEP 4

같은 규칙을 더 긴 구간에 쓰기

묻는 간격은 12가 아니라 10이므로 상승은 30, 보기 (D).

f(12)-f(2)=m(12-2)=3 · 10=30 → (D)

정답

계산 없이 배율만 보아도 확인된다. 두 번째 간격 10은 첫 번째 간격 4의 10/4=2.5 배이므로 상승도 2.5 × 12=30 이어야 한다. 오답들은 저마다 이름 붙일 수 있는 실수와 대응한다. (A) 12는 간격이 길어져도 상승이 그대로라고 본 것이다. (C) 24는 12가 6의 두 배라는 이유로 두 배 한 것이며, 두 차가 모두 2 에서 시작한다는 점을 잊은 것이다. (E) 36은 12/4=3을 곱한 것으로, 간격을 12-2=10이 아니라 끝점 12로 쓴 결과이다. (B) 18은 일관된 어떤 해석과도 맞지 않는다. 구체적인 예로도 확인되고, 직선의 높이가 정말 무관함도 보인다. f(x)=3x+100이면 f(6)-f(2)=118-106=12로 조건을 만족하고, f(12)-f(2)=136-106=30이다.

💡핵심 정리

직선에서는 간격만이 상승을 정한다. 직선이 얼마나 높이 시작하는지는 모든 차에서 지워지므로 함수 전체를 알 필요가 없다.

직선에 이름 붙이기
차를 만들면 높이 b 는 지워진다
주어진 사실에서 기울기 읽기
같은 규칙을 더 긴 구간에 쓰기

직선에 이름 붙이기

차를 만들면 높이 b 는 지워진다

주어진 사실에서 기울기 읽기

같은 규칙을 더 긴 구간에 쓰기

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