AMC 10 · 2004 · #16

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

logarithm-propertiesdomain-restriction work-backwardseasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

식 log₂₀₀₄(log₂₀₀₃(log₂₀₀₂(log₂₀₀₁{x})))은 로그 네 개가 서로 안쪽으로 겹쳐 있습니다. 이 식은 x 가 충분히 클 때에만 뜻을 가지며, 정의되는 x 의 집합은 열린 반직선입니다. 그 경계값 c 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2001^{2002}$

(C)

$2002^{2003}$

(D)

$2003^{2004}$

(E)

$2001^{2002^{2003}}$

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

이 문제는 x 쪽에서 공략할 수 없습니다: 특정한 x 가 되는지 아닌지는 네 층을 모두 계산해 보지 않으면 알 수 없기 때문입니다. 그런데 가장 바깥 층은 자기 요구를 곧바로 말해 줍니다 — 자기 안에 들어 있는 것이 양수여야 한다는 것 — 그리고 그 요구는 바로 다음 층에 대한 부등식입니다. 그래서 자연스러운 방향은 거꾸로입니다(도구 #11): 바깥에서 시작해 각 층의 요구를 그 아래 층에 대한 요구로 바꾸고, 요구가 x 자체에 대한 것이 될 때까지 계속합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 네 층에 L₁,…,L₄ 라는 이름을 붙여 괄호를 잃지 않게 해 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 패턴을 알려 줍니다: 답이 뻔한 한 층짜리와 두 층짜리를 먼저 풀어 보면, 네 층짜리는 같은 동작의 반복이 됩니다. 한 가지 주의할 점은 각 동작이 단순한 함의가 아니라 동치여야 한다는 것인데, 그렇지 않으면 마지막에 얻는 반직선이 너무 크거나 너무 작을 수 있습니다.

1STEP 1

네 층에 이름 붙이기

안쪽부터 네 층에 이름을 붙여 괄호를 놓치지 않는다.

L₁=log₂₀₀₁x, L₂=log₂₀₀₂L₁, L₃=log₂₀₀₃L₂, L₄=log₂₀₀₄L₃

2STEP 2

한 층, 두 층부터 해 보기

작은 경우가 규칙을 보여 준다: 한 층의 조건이 입력에 대한 밑의 거듭제곱이 된다.

log₂₀₀₁x 정의됨 ⇔ x ＞ 0; log₂₀₀₂(log₂₀₀₁x) 정의됨 ⇔ L₁ ＞ 0 ⇔ x ＞ 2001⁰=1

3STEP 3

가장 바깥 층 벗기기

가장 바깥 층을 벗기면 그다음 층이 1보다 커야 한다.

log₂₀₀₃L₂ ＞ 0 ⇔ L₂ ＞ 2003⁰=1

4STEP 4

다음 층 벗기기

다음 단계에서 경계가 2002로 뛴다.

log₂₀₀₂L₁ ＞ 1 ⇔ L₁ ＞ 2002¹=2002

5STEP 5

마지막 층을 벗겨 x 에 도달하기

마지막으로 한 번 더 벗기면 x에 닿아 2001²⁰⁰²이 된다.

log₂₀₀₁x ＞ 2002 ⇔ x ＞ 2001²⁰⁰²

6STEP 6

사슬이 양방향으로 성립하는지 확인하고 c 읽기

모든 단계가 동치였으므로 그것이 정확한 경계값이다, 보기 (B).

log₂₀₀₄(log₂₀₀₃(log₂₀₀₂(log₂₀₀₁x))) 정의됨⇔ x ＞ 2001²⁰⁰² → c=2001²⁰⁰² (B)

정답

2001²⁰⁰²

경계를 직접 시험해 봅니다. x=2001²⁰⁰² 에서는 L₁=2002, L₂=log₂₀₀₂₂₀₀₂=1, L₃=log₂₀₀₃₁=0이고, L₄=log₂₀₀₄₀은 정의되지 않습니다 — 그래서 x=2001²⁰⁰²은 정말로 실패하고, 이는 x ≥ c 가 아니라 엄격한 부등식 x ＞ c 와 맞습니다. 바로 위쪽, 예를 들어 x=2001²⁰⁰³이면 L₁=2003, L₂=log₂₀₀₂₂₀₀₃은 1 보다 조금 크고, L₃은 작은 양수, L₄는 잘 정의된 큰 음수가 됩니다. 따라서 경계값은 정확하고 층 하나만큼 어긋나 있지도 않습니다. 오답 선택지는 각각 특정한 실수에 대응합니다: (A) 0은 가장 안쪽 로그만 따졌을 때의 답이고, (C) 2002²⁰⁰³과 (D) 2003²⁰⁰⁴는 밑과 지수를 잘못 짝지은 것이며, (E) 2001^{2002²⁰⁰³}은 층을 하나 더 벗겨서, 가장 바깥 로그도 1 보다 커야 한다고 착각했을 때 나오는 값입니다.

💡핵심 정리

겹쳐진 로그는 바깥에서 안으로 벗기세요: 각 층은 자기 안의 값이 양수이기만 하면 되고, 한 층 아래로 내려가면 그 요구가 밑을 그 수만큼 거듭제곱한 것보다 크다는 조건으로 바뀝니다.

네 층에 이름 붙이기
한 층, 두 층부터 해 보기
가장 바깥 층 벗기기
다음 층 벗기기
마지막 층을 벗겨 x 에 도달하기
사슬이 양방향으로 성립하는지 확인하고 c 읽기