AMC 10 · 2004 · #17
학년 8 arithmetic recursive-sequenceexponentstriangular-numbers pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
함수 f는 두 규칙을 따른다: f(1) = 1이고, 모든 양의 정수 n에 대해 f(2n) = n 곱하기 f(n)이다. 이 규칙만 사용하여 2의 100제곱에서의 f의 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\ 1$
(B)
$\ 2^{99}$
(C)
$\ 2^{100}$
(D)
$\ 2^{4950}$
(E)
$\ 2^{9999}$
풀이 과정
전략 패턴 찾기
지수 100은 바로 공략하기 불가능하므로, 먼저 손으로 규칙을 적용할 수 있는 작은 2의 거듭제곱 — f(2), f(4), f(8), f(16) — 에서 f를 구한다. 각 결과를 2의 거듭제곱으로 적으면 지수에서 깔끔한 패턴이 드러난다. 패턴이 분명해지면 같은 규칙이 매 두 배마다 지수가 어떻게 커지는지 정확히 보여 주어, 문제 전체가 0부터 99까지의 수를 더하는 하나의 합으로 바뀐다.
1STEP 1
작은 2의 거듭제곱 구하기
아는 값에서 올라가면 처음 몇 거듭제곱의 지수는 0, 1, 3, 6이다.
f(2)=1 · f(1)=1=2⁰, f(4)=2 · f(2)=2=2¹, f(8)=4 · f(4)=8=2³, f(16)=8 · f(8)=64=2⁶
처음 몇 개의 2의 거듭제곱을 해 보면 추상적인 규칙이 눈으로 볼 수 있는 구체적인 수로 바뀐다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem2STEP 2
지수가 어떻게 커지는지 보기
두 배마다 2의 거듭제곱이 곱해지므로 지수는 단계 번호의 누적합이다.
f(2^k+1)=2^k · f(2^k) → f(2¹⁰⁰)의 지수 = 0+1+2+…+99
매번 두 배로 늘 때마다 다음 2의 거듭제곱을 곱하므로 지수가 차곡차곡 쌓인다.
8.EE.A.1Look For A Pattern3STEP 3
0부터 99까지 더해 답 읽기
양 끝에서 짝을 지어 0부터 99까지 더하면 4950이라 2⁴⁹⁵⁰, 보기 (D).
0+1+…+99=(99 · 100)/2=50 × 99=4950 → f(2¹⁰⁰)=2⁴⁹⁵⁰
가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아져, 곱셈 한 번으로 합이 끝난다.
가장 작은 지수와 가장 큰 지수를 짝지으면 모든 짝의 크기가 같아져, 곱셈 한 번으로 합이 끝난다.
▸ 왜?
고르게 늘어선 목록에서 안쪽으로 옮기면 한쪽이 오른 만큼 다른 쪽이 내려가므로, 모든 짝의 합이 같다.
양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
▸ 왜?
애초에 지수가 쌓이는 것은 한 밑의 거듭제곱을 곱하면 그 횟수가 더해지기 때문이다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
정답
2⁴⁹⁵⁰
지수 0, 1, 3, 6은 누적 합 0, 0+1, 0+1+2, 0+1+2+3과 정확히 일치하므로, 누적 합 아이디어는 손으로 계산한 경우들과 딱 들어맞는다. 최종 지수 4950도 0부터 99까지 더하는 표준 계산인 99 곱하기 100 나누기 2와 같다. 답은 거대한 2의 거듭제곱인데, 매 단계마다 점점 큰 2의 거듭제곱을 곱하는 규칙에 잘 맞고, 제시된 보기 중 하나에 정확히 떨어진다.
💡핵심 정리
규칙에 바로 대입하기엔 너무 클 때는 처음 몇 경우를 해 보고 거듭제곱으로 적어라 — 지수의 패턴이 무거운 일을 대신 해 준다.
- 작은 2의 거듭제곱 구하기
- 지수가 어떻게 커지는지 보기
- 0부터 99까지 더해 답 읽기