AMC 10 · 2004 · #20

학년 7 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityprobability-basicarea-triangles caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

0과 1 사이에서 두 수 a 와 b 를 독립적으로 고르고 c=a+b 라 합니다. a, b, c 를 각각 가장 가까운 정수로 반올림한 값을 A, B, C 라 합니다. 반올림이 덧셈을 견디는 확률, 즉 A+B=C 일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac14$

(B)

$\frac13$

(C)

$\frac12$

(D)

$\frac23$

(E)

$\frac34$

풀이 과정

전략 그림 그리기

여기에는 셀 수 있는 유한한 경우가 없습니다 — a 와 b 가 연속적으로 변하기 때문입니다 — 그래서 세기를 재기로 바꿔야 합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 바로 그 일을 합니다: 결과를 단위정사각형 안의 점 (a,b)로 그리면 확률이 넓이가 됩니다. 이것이 통하는 이유는 반올림 덕분인데, 문제의 모든 조건(a ＜ 1/2, b ≥ 1/2, a+b ＜ 3/2)이 직선 경계라서 성공 영역이 넓이를 쉽게 구할 수 있는 다각형들의 합집합이 되기 때문입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 작업을 정리해 줍니다: 두 절단선 a=1/2와 b=1/2가 정사각형을 네 조각으로 나누고 각 조각이 가능한 (A,B) 하나씩에 대응하므로, 조각마다 따로 다루면 중복도 누락도 없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 마지막에 실패 영역을 재는 독립적인 검산을 제공합니다.

1STEP 1

반올림을 부등식으로 바꾸기

각 반올림이 중간 지점과의 부등식이 되고, 합에는 그것이 둘이다.

A= 0,& a ＜ 1/2 ; 1,& a ≥ 1/2 C= 0,& c ＜ 1/2 ; 1,& 1/2 ≤ c ＜ 3/2 ; 2,& c ≥ 3/2

2STEP 2

단위정사각형을 표본공간으로 삼기

한 시행은 단위정사각형 안의 점이므로 확률은 넓이와 같다.

P(영역 R)=넓이(R)/넓이([0,1]²)=넓이(R)

3STEP 3

정사각형을 네 조각으로 자르기

두 중간선이 정사각형을 반올림 쌍마다 하나씩 네 조각으로 자른다.

[0,1]²=[0,1/2)²_A+B=0 ∪ [1/2,1]×[0,1/2)_A+B=1 ∪ [0,1/2)×[1/2,1]_A+B=1 ∪ [1/2,1]²_A+B=2

4STEP 4

왼쪽 아래 조각: 둘 다 내림

낮은 모서리에서는 넓이 1/8인 삼각형만 성공한다.

넓이{a,b ≥ 0, a+b ＜ 1/2}=1/2·1/2·1/2=1/8

5STEP 5

섞인 두 조각: 하나는 올림, 하나는 내림

섞인 두 조각은 전부 성공해 1/2을 기여한다.

a ＜ 1/2 ≤ b → 1/2 ≤ a+b ＜ 3/2 → C=1=A+B; 1/4+1/4=1/2

6STEP 6

오른쪽 위 조각: 둘 다 올림

높은 모서리는 낮은 쪽과 대칭이라 또 1/8이다.

넓이{a,b ≤ 1, a+b ≥ 3/2}=1/2·1/2·1/2=1/8

7STEP 7

네 조각을 더하고 실패 쪽으로 검산하기

더하면 3/4이고 실패 쪽으로 세어도 확인된다, 보기 (E).

1/8+1/4+1/4+1/8=3/4; 1-(1/8+1/8)=3/4 → (E)

정답

3/4

확률은 1/2 보다 뚜렷이 커야 합니다: 정사각형의 절반이 섞인 두 조각이고 이들은 결코 실패하지 않으므로, 모서리 삼각형을 세기도 전에 답은 이미 1/2 이상입니다. 이것만으로 (A) 1/4, (B) 1/3, (C) 1/2가 배제되고, (C)는 섞인 조각까지만 세고 멈추는 함정 그 자체입니다. 또 답은 1 보다 작아야 하는데, a=b=0.4이면 A+B=0 이지만 c=0.8은 C=1로 반올림되어 실제로 실패하기 때문입니다. 수치 감각으로도 맞습니다: 실패는 두 수가 1/2의 같은 쪽에 놓이고 그 합이 중간 지점을 넘어갈 때 일어나는데, 무작위 쌍의 약 사분의 일에서 생깁니다. 3/4는 여기에 들어맞고, 선택지 (D) 2/3 이려면 실패 삼각형 두 개의 넓이 합이 1/3 이어야 하는데, 섞인 조각이 전부 성공임을 알고 나면 모서리 조각들이 담을 수 있는 실패는 많아야 1/4입니다.

💡핵심 정리

쌍 (a,b)를 단위정사각형 안의 점으로 그리세요: 확률이 넓이가 되고, 반올림 규칙은 넓이를 재는 기준이 되는 직선으로 바뀝니다.

반올림을 부등식으로 바꾸기
단위정사각형을 표본공간으로 삼기
정사각형을 네 조각으로 자르기
왼쪽 아래 조각: 둘 다 내림
섞인 두 조각: 하나는 올림, 하나는 내림
오른쪽 위 조각: 둘 다 올림
네 조각을 더하고 실패 쪽으로 검산하기