AMC 10 · 2004 · #23
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 두 부분으로 되어 있고, 둘 다 해야 한다. 첫째, 네 선택지가 0으로 고정됨을 보인다. 각각은 하나의 구조적 사실에서 나온다(0이라는 근, 켤레 대칭, 근의 합과 (c₂₀₀₃)을 잇는 비에트 관계, 실근 개수에 대한 홀짝 계산). 둘째, 그리고 이 절반이 빠뜨리기 쉽다. 살아남은 선택지가 정말로 0이 아닐 수 있음을, 모든 조건을 만족하면서 (P(1) ≠ 0)인 다항식을 실제로 만들어 증명한다. 넷을 지우는 것은 어디를 볼지 알려 줄 뿐, 다섯째가 실현 가능함을 증명하지는 않는다. 같은 설정의 차수 4짜리 축소 모형은 다섯 예측을 한꺼번에 값싸게 점검하는 방법이다.
켤레쌍이 두 합을 없앤다
실수 계수가 근을 켤레로 짝지어 허수부가 상쇄되고 두 합이 모두 0이 된다.
실수 계수는 (i)와 (-i)를 구별하지 못하므로, 실수가 아닌 근은 허수부가 상쇄되는 거울쌍으로 온다.
실수 계수는 복소수 근과 그 거울상을 구별할 수 없으므로, 실수가 아닌 근은 서로 지워지는 짝으로 나타난다.
▸ 왜?
실수 계수 다항식은 실수가 아닌 근을 켤레 짝으로 가지므로, 허수부의 합은 0이 된다.
▸ 왜?
그런 근이 반드시 둘씩 오므로, 홀수 개의 무더기는 있을 수 없다.
근 0이 상수항을 없앤다
0과 1을 대입하면 제시된 두 양이 다항식의 값임이 드러난다.
(x = 0)을 넣으면 (x)를 품은 항이 모두 지워지고 상수항만 남는다.
9.F-IF.A.2Eliminate Possibilities비에트가 다음 계수를 고정한다
비에트가 다음 계수를 근의 합과 잇고 그 합이 0이라 그것도 사라진다.
두 번째로 높은 계수는 모든 근의 합에 음수를 붙이고 최고차항 계수를 곱한 것에 지나지 않는다.
11.A-APR.C.4Eliminate Possibilities홀짝이 두 번째 실근을 강제한다
홀짝 세기가 두 번째 실근을 강제해 곱에 0인 인수가 들어간다.
실수가 아닌 근은 늘 둘씩 오므로, 그것들이 홀수 개인 더미는 존재할 수 없다.
11.N-CN.C.9Change Focus Count The Complement계수 합이 0이 아닌 다항식 만들기
구체적인 다항식이 계수 합을 0이 아니게 만드므로 답은 계수의 합, 보기 (E).
근을 직접 고르는 것이 다항식을 통제하는 가장 빠른 방법이고, 1이 근에 없는 한 (P(1))은 0이 될 수 없다.
11.A-APR.B.3Guess And Check네 선택지를 지우는 것은 다섯째를 가리킬 뿐이다. 어떤 양이 0이 아닐 수 있다고 말하려면, 실제로 0이 아닌 예를 하나 만들어야 한다.
- 켤레쌍이 두 합을 없앤다
- 근 0이 상수항을 없앤다
- 비에트가 다음 계수를 고정한다
- 홀짝이 두 번째 실근을 강제한다
- 계수 합이 0이 아닌 다항식 만들기