AMC 10 · 2004 · #25
학년 9 algebra답을 골라 클릭하세요.
밑을 변수 b로 두고 96개 인수를 한꺼번에 덮는 식 하나를 찾는다. 순환 전개에 쓰는 표준적인 자리 옮기고 빼기 기법이 a_b를 두 다항식의 비로 바꾼다. 그다음 그 비의 모양을 본다. 밑이 b일 때의 분자를 밑이 b+1일 때의 분모와 같은 식으로 다시 쓸 수 있다면 이웃한 인수끼리 지워지고 96개 항의 곱이 양 끝만 남게 무너진다. 마지막으로 n을 최소로 만드는 것은 지워지기의 부산물이 아니라 별개의 나누어떨어짐 문제이므로 따로 논증한다.
순환 전개를 분수로 바꾸기
한 주기만큼 밀고 빼면 전개가 분수가 된다.
순환 전개를 한 주기만큼 밀면 꼬리가 자기 자신과 겹쳐서, 빼는 순간 무한한 부분이 사라진다.
되풀이되는 전개를 한 주기만큼 밀면 꼬리가 자기 자신과 맞춰지므로, 빼면 무한한 부분이 지워진다.
▸ 왜?
밑의 주기 제곱을 곱하면 모든 자릿수가 그만큼 밀릴 뿐 어느 것도 달라지지 않는다.
▸ 왜?
두 무한한 꼬리가 똑같으므로, 두 수의 차는 유한하고 정확히 계산된다.
분자가 세제곱에서 1을 뺀 꼴임을 알아채기
분자는 사실 같은 세제곱 빼기 1 꼴의 한 단계 뒤다.
한 인수의 분자가 다음 인수의 분모가 되는 순간, 긴 곱은 스스로를 갉아먹기 시작한다.
9.A-SSE.A.2Look For A Pattern곱해서 망원경처럼 접기
그래서 긴 곱이 망원처럼 접혀 99 계승분의 95238이 남는다.
같은 목록을 하나씩 밀어서 두 벌 놓으면 양 끝을 뺀 모든 자리가 서로 지워진다.
9.A-SSE.A.1Look For A Pattern계승 줄이기
공통 인수가 약분되어 계승이 한 단계 내려가고 962가 된다.
분자에서 떼어낼 수 있는 인수 하나마다 분모의 계승이 한 단계씩 내려간다.
6.NS.B.4Introduce A Variable98보다 더 줄일 수 없음을 보이기
나누어떨어짐 확인으로 더 작은 계승이 불가능함이 증명되어 m은 962, 보기 (E).
계승을 한 단계 더 내리려면 분자에 98이 있어야 하는데, 962에는 7이 하나도 없다.
6.NS.B.4Look For A Pattern각 인수를 그 분자가 다음 인수의 분모가 되도록 다시 써라. 그러면 96개 항의 곱이 양 끝만 남게 무너진다. 그다음 더 지울 것이 없는지는 따로 확인해라.
- 순환 전개를 분수로 바꾸기
- 분자가 세제곱에서 1을 뺀 꼴임을 알아채기
- 곱해서 망원경처럼 접기
- 계승 줄이기
- 98보다 더 줄일 수 없음을 보이기