AMC 10 · 2008 · #4
학년 5 algebra fraction-multiplicationpattern-recognitiontelescoping-sum pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: fraction-multiplication
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
긴 분수의 사슬을 곱하는데, 각 분모가 앞 분자와 맞물린다. 그 곱을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
251
(B)
502
(C)
1004
(D)
2008
(E)
4016
풀이 과정
전략 패턴 찾기
501개의 분수를 정면으로 곱하는 것은 무리다. 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 먼저 앞의 두세 인수만 곱해 보라고 한다. 그러면 반복되는 약분이 드러나고, 도구 #5(패턴 찾기)가 그 이유를 설명한다. 각 분수의 분자가 바로 다음 분수의 분모이기 때문이다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체를 하나의 큰 분수로 적고, 짝이 맞는 것끼리 모두 약분한 뒤 마지막에 나눗셈 한 번으로 끝낸다.
1STEP 1
앞의 몇 인수를 곱해 보기
처음 몇 인수를 곱하면 패턴이 보인다.
8/4·12/8=12/4=3, 12/4·16/12=16/4=4
곱의 작은 버전을 먼저 해 보면 전체를 다 하지 않아도 무슨 일이 벌어지는지 보인다.
5.NF.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
왜 항상 한 수가 약분되는지 보기
분자와 분모가 하나 밀린 같은 목록이다.
분자: 8,12,16,…,2008; 분모: 4,8,12,…,2004
각 분자가 다음 분모와 같으므로, 짝이 맞는 수가 위아래에 놓여 약분될 준비가 되어 있다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
가운데 것들을 모두 약분하기
그래서 양 끝만 남고 모두 약분된다.
(8·12·16…2008)/(4·8·12…2004)=2008/4
위의 어떤 수와 아래의 같은 수는 곱해서 1이 되므로, 짝 없는 양 끝 두 수만 남는다.
분자의 각 수가 분모의 같은 수와 만나므로, 짝이 없는 양 끝만 살아남는다.
▸ 왜?
어떤 수를 자기 자신으로 나누면 곱셈이 되돌려져, 곱은 그대로 남는다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
1을 곱해도 아무것도 달라지지 않으므로, 지워진 짝은 사슬에서 그냥 빠져나간다.
곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.
4STEP 4
마지막 나눗셈 하기
나누면 502, 보기 (B).
2008/4=502 → (B)
사슬이 접혀 사라지고 나면 나눗셈 한 번으로 문제가 끝난다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems정답
502
나눗셈을 확인하자: 502·4=2008 이므로 2008/4=502가 맞다. 크기도 타당하다. 각 인수는 1보다 아주 조금 클 뿐(2, 1.5, 1.33, …)이라, 약 500개를 곱해도 가장 큰 선택지보다 한참 아래에 놓인다. 함정들도 흔한 실수와 맞물린다. 2008 (D)는 첫 분모로 나누는 것을 잊은 값, 4016 (E)는 나누는 대신 두 배로 한 값, 251 (A)는 한 수를 지나치게 약분한 2008/8이다.
💡핵심 정리
각 분수의 분자가 다음 분수의 분모이면 줄줄이 약분되어, 맨 마지막 분자와 맨 처음 분모만 남는다.
- 앞의 몇 인수를 곱해 보기
- 왜 항상 한 수가 약분되는지 보기
- 가운데 것들을 모두 약분하기
- 마지막 나눗셈 하기