AMC 10 · 2005 · #13

학년 11 algebra
유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Product Ratio Cancellation
exponentslogarithm-propertiespattern-recognition easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: exponentslogarithm-properties
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
지수 방정식들이 밑 4에서 128까지 사슬을 이루고, 각각 앞의 결과를 새 밑으로 쓴다. 모든 지수의 곱을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
$\frac{5}{2}$
(C)
3
(D)
$\frac{7}{2}$
(E)
4
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

124 개의 무리수를 하나씩 계산해서 곱할 수는 없고, 그중 어느 하나도 깔끔한 값을 갖지 않는다. 그러나 같은 사슬을 두 마디로 줄이면 쉽게 풀리고, 거기서 식을 겹쳐 쌓으면 지수끼리 곱해진다는 사실이 드러난다. 이 패턴을 끝까지 밀면 사슬 전체가 양 끝인 4와 128을 잇는 식 하나로 접힌다.

1STEP 1

두 마디로 줄이기

대입하면 두 마디가 합쳐지고 지수가 곱해진다.

6 = 5^x₂ = (4^x₁)^x₂ = 4^x₁ x₂
2STEP 2

사슬을 따라 확장하기

같은 방법이 모든 마디에서 통해 사슬 전체가 접힌다.

4^x₁ x₂ … x_n = n+4 ⟹ 4^x₁ x₂ … x_n+1 = (n+4)^x_n+1 = n+5
3STEP 3

마디 수를 세어 128에 닿기

마디를 세면 우변이 128에 닿는다.

n = 124: 4^ x₁ x₂ … x₁₂₄ = 128, P = x₁ x₂ … x₁₂₄
4STEP 4

양변을 밑 2로 맞추기

양변이 2의 거듭제곱이라 지수를 비교할 수 있다.

4^P = (2²)^P = 2²P = 2⁷ = 128
5STEP 5

지수를 읽어내기

읽어 내면 7/2, 보기 (D).

2P = 7 ⟹ P = 7/2
정답
7/2
풀지 않고 값의 범위부터 잡는다. 곱은 4^P = 128을 만족하는데 4³ = 64 ＜ 128 ＜ 256 = 4⁴ 이므로 3 ＜ P ＜ 4이다. 이 부등식 하나로 2, 5/2, 3, 4가 모두 지워지고 7/2만 남는다. 모양에 대한 두 번째 점검으로, 각 x_k = log_k(k+1)은 1 보다 조금 크므로 곱은 1을 넘되 124 개를 곱해도 천천히만 자란다. 이는 아주 큰 값이 아니라 3.5 부근의 값과 어울린다.
💡핵심 정리

앞의 거듭제곱이 다음 식의 밑으로 이어지면 지수끼리 곱해지므로, 긴 사슬은 양 끝을 비교하는 식 하나로 접힌다.

  • 두 마디로 줄이기
  • 사슬을 따라 확장하기
  • 마디 수를 세어 128에 닿기
  • 양변을 밑 2로 맞추기
  • 지수를 읽어내기

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