AMC 10 · 2004 · #3
학년 7 algebra답을 골라 클릭하세요.
방정식 하나로 미지수 둘을 정할 수는 없지만, 하나를 다른 하나로 나타낼 수는 있습니다. x 에 대해 풀면 y 를 고를 때마다 x 가 정확히 하나로 정해지므로(도구 #4), 해의 순서쌍을 세는 일이 허용되는 y 값을 세는 훨씬 쉬운 일로 바뀝니다 — 변수가 둘이 아니라 하나가 됩니다. 그러면 두 개의 양수 조건이 y 의 아래 경계와 위 경계가 되고(도구 #14), 개수는 그 경계 사이의 정수의 개수일 뿐입니다(도구 #2). 이 문제의 어려움은 전부 그 범위의 양 끝에 있으므로, 두 끝점을 모두 명시적으로 확인합니다. 같은 방정식을 짝수·홀수 관점으로 다시 정리하면(도구 #15) 첫 번째 계산을 확인해 주는 독립적인 두 번째 세기를 얻습니다.
x를 y로 나타내기
한 변수에 대해 풀면 다른 하나가 유일한 자유 변수가 된다.
한 미지수가 다른 미지수를 결정하면, 순서쌍을 세는 것은 자유로운 쪽의 선택지를 세는 것과 같습니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable양수 조건을 y의 범위로 바꾸기
두 양수 조건이 범위 1부터 49까지로 바뀐다.
"양수여야 한다"는 조건은 사실 부등식이고, 변수를 유한한 범위 안에 가두는 것이 바로 부등식입니다.
어떤 양이 양수여야 한다는 요구는 사실 부등식이며, 부등식이 변수를 유한한 범위 안에 가둔다.
▸ 왜?
어떤 값이 위아래로 한정되면 그 밖은 모두 불가능하므로, 유한한 창만 살아남는다.
▸ 왜?
창 밖의 후보는 모두 곧바로 지워지므로, 세는 일은 남은 것만 본다.
양 끝 확인하기
경계를 대입하면 49는 되지만 그다음 값은 실패한다.
하나 차이 실수는 범위의 끝에 숨어 있으므로, 확인해야 할 곳이 바로 그 끝입니다.
7.EE.B.4Extreme Principle값의 개수 세기
그 정수를 세면 49쌍, 보기 (B).
범위 안의 자연수를 셀 때는 양 끝을 빼고 1을 더합니다. 양 끝도 세어야 하기 때문입니다.
6.NS.C.6Make A Systematic List방정식 하나에 미지수가 둘이면 하나를 풀어내고 다른 하나를 자유롭게 두세요 — 여기서 y 는 1부터 49까지 아무 정수나 될 수 있어 49 쌍이고, y=50은 x 를 0으로 만들기 때문에만 탈락합니다.
- x를 y로 나타내기
- 양수 조건을 y의 범위로 바꾸기
- 양 끝 확인하기
- 값의 개수 세기