AMC 10 · 2004 · #6

학년 8 algebra

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exponentsfactors identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

2004의 거듭제곱으로 만든 거대한 수 여섯 개가 있습니다. 이 목록에서 이웃한 쌍으로 차 다섯 개를 만듭니다. 그 다섯 개의 차 중 어느 것이 가장 큰지 판단하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

U-V

(B)

V-W

(C)

W-X

(D)

X-Y

(E)

Y-Z

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

여섯 수는 지수가 세 가지(2005, 2004, 2003)이고 앞의 계수도 세 가지(2, 2003, 1)라서 서로 무관해 보입니다. 도구 #15가 이를 해결합니다: 여섯 수를 모두 2004²⁰⁰³의 몇 배라는 하나의 공통 단위로 다시 씁니다. 그러면 모든 차가 계수의 차가 되고, 천문학적으로 큰 수 다섯 개를 비교하는 일이 평범한 자연수 다섯 개를 비교하는 일로 바뀝니다. 도구 #7은 다섯 개의 차를 하나씩 처리하게 해 주고, 도구 #9는 2004를 5로 바꾼 작은 모형으로 그 순서가 계산이 아니라 구조에서 나온 것임을 확인해 줍니다.

1STEP 1

여섯 수를 하나의 단위로 맞추기

모든 수가 같은 거듭제곱을 가지므로 묶어내어 여섯을 하나의 단위로 맞춘다.

U=2·2004² u, V=2004² u, W=2003·2004 u, X=2·2004 u, Y=2004 u, Z=u (u=2004²⁰⁰³)

2STEP 2

각 쌍끼리 빼기

각 차는 그 단위를 유지하므로 계수끼리만 빼진다.

U-V=2004²u, V-W=2004u, W-X=2004 · 2001 u, X-Y=2004u, Y-Z=2003u

3STEP 3

다섯 계수 비교하기

경쟁하는 계수는 둘뿐이고 공통 인수를 가지므로 더 큰 쪽은 U 빼기 V이다.

2004²=4,016,016 ＞ 2004·2001=4,010,004 ＞ 2004=2004 ＞ 2003

4STEP 4

축소 모형으로 확인하기

작은 밑으로 같은 구조를 다시 만들어도 순서가 같다, 보기 (A).

n=5: U-V=125, V-W=25, W-X=50, X-Y=25, Y-Z=20 → U-V 가 최대 → (A)

정답

U-V

계수 계산 없이 크기만 따져도 같은 결론이 나옵니다. U=2V 이므로 U-V 는 V=2004²⁰⁰⁵ 자체와 같고, 이는 이 문제에 나오는 가장 큰 수입니다. 한편 W, X, Y, Z 는 모두 W=2003 · 2004²⁰⁰⁴ 이하이므로 W-X, X-Y, Y-Z 는 각각 2003 · 2004²⁰⁰⁴ ＜ 2004 · 2004²⁰⁰⁴=2004²⁰⁰⁵ 보다 작고, 남은 하나는 V-W=2004²⁰⁰⁴로 더 작습니다. 어떤 차도 2004²⁰⁰⁵에 이를 수 없으므로 U-V 가 가장 커야 합니다.

💡핵심 정리

거대한 수를 모두 같은 2004의 거듭제곱에 계수를 곱한 꼴로 다시 쓰면, 괴물끼리의 대결이 작은 수끼리의 대결로 바뀝니다.

여섯 수를 하나의 단위로 맞추기
각 쌍끼리 빼기
다섯 계수 비교하기
축소 모형으로 확인하기

여섯 수를 하나의 단위로 맞추기

각 쌍끼리 빼기

다섯 계수 비교하기

축소 모형으로 확인하기

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