AMC 10 · 2004 · #1
학년 4 arithmetic sequences-geometricmulti-digit-arithmetic work-backwardspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
제니는 연습할 때마다 자유투 성공 개수를 두 배로 늘린다. 다섯 번째 연습에서 48개를 성공했다. 첫 번째 연습에서 몇 개를 성공했는지 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
3
(B)
6
(C)
9
(D)
12
(E)
15
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기
문제는 사슬의 끝(다섯 번째 연습, 48)을 주고 시작(첫 번째 연습)을 묻는다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 정확히 맞다. 쌓아 올리는 대신 규칙을 한 단계씩 되돌리면 된다. 앞으로 가는 규칙이 "2 곱하기"이므로 거꾸로 가는 규칙은 "2로 나누기"이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 구조가 두 배씩 커지는 사슬임을 알려 주어, 다섯 번째에서 첫 번째까지 되돌아가는 단계가 정확히 네 번임을 알게 해 준다.
1STEP 1
두 배 사슬 보기
첫 번째에서 다섯 번째까지 두 배가 네 번 적용된다.
1번째 → 2번째 → 3번째 → 4번째 → 5번째=48
"두 배 많이"는 2를 곱하는 도약이고, 첫 번째에서 다섯 번째까지 그 도약이 네 번 있다.
네 번 거듭 두 배 하는 것은 한 가지 곱셈의 되풀이이므로, 되돌리는 것도 한 가지 나눗셈의 되풀이다.
▸ 왜?
두 배는 같은 묶음을 두 번 되풀이한 것이므로, 연습할 때마다 개수에 같은 배율이 곱해진다.
곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
▸ 왜?
반으로 나누는 것이 두 배를 정확히 되돌리므로, 나중 값에서 거꾸로 밟으면 앞의 값이 되살아난다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
2STEP 2
두 배를 한 번 되돌리기
두 배를 하나 되돌리는 것은 반으로 나누기: 네 번째 연습은 24.
48÷2=24 (4번째 연습)
반으로 나누기는 두 배를 되돌리므로, 48에서 한 단계 뒤는 24이다.
3.OA.C.7Work Backwards3STEP 3
첫 번째까지 계속 반으로 나누기
계속 반으로 나누면 12, 6, 3이 된다.
24÷2=12, 12÷2=6, 6÷2=3
반씩 나눌 때마다 두 배가 하나씩 벗겨져 첫 번째 연습만 남는다.
3.OA.C.7Work Backwards4STEP 4
답 읽고 확인하기
앞으로 가면 정확히 48에 닿으므로 답은 3, 보기 (A).
3 → 6 → 12 → 24 → 48 → (A)
반으로 내려가고 두 배로 올라간 값이 주어진 48과 맞으면 시작 값이 확인된다.
3.OA.C.7Work Backwards정답
3
두 배는 빠르게 커지므로, 네 번의 두 배를 거치면 첫 번째 연습의 수는 48보다 훨씬 작아야 한다 — 그리고 3이 그렇다. 선택지가 모두 작은 수라는 점이 첫 번째 연습이 48로 부풀어 오르는 작은 씨앗임을 알려 주는 단서이다. 앞으로 확인하면 3→6→12→24→48이 다섯 번째에서 정확히 48에 닿으므로, 너무 많이 또는 적게 나누지 않았다. 만약 6(B)이라면 다섯 번째에서 96이 되어 너무 크므로 배제된다.
💡핵심 정리
두 배 사슬의 끝이 주어지고 시작을 구할 때는, 한 단계씩 반으로 나누며 거꾸로 걸어가면 된다.
- 두 배 사슬 보기
- 두 배를 한 번 되돌리기
- 첫 번째까지 계속 반으로 나누기
- 답 읽고 확인하기