AMC 10 · 2004 · #11

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeextreme-principlelinear-equations-one-var extremal-constructionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

100점 만점 시험에서 정확히 다섯 명이 100점을 받았고 60점 미만인 학생은 없다. 반 평균은 76점이다. 실제로 가능한 가장 작은 반 인원수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

100점 다섯 개가 평균을 끌어올리고, 그것을 다시 76까지 끌어내릴 수 있는 것은 낮은 점수뿐이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 반 인원을 n이라 두면 평균이 고정된 총점으로 바뀐다. 도구 #14(극단의 원리)는 나머지 학생들이 총점을 얼마나 아래로 끌어내릴 수 있는지 묻는다. 그들의 바닥은 60점이므로 한계가 분명하고, 그 한계가 n에 대한 부등식이 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 그 부등식을 푼다. 부등식은 작은 반을 배제할 뿐이므로, 마지막에는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 살아남은 인원수에 대한 실제 점수 배치를 하나 만들어 보인다.

1STEP 1

평균을 총점으로 바꾸기

평균을 총점으로 바꾸면 훨씬 다루기 쉽다.

평균=총점/n=76 ⟺ 총점=76n

2STEP 2

나머지를 바닥까지 내리기

나머지를 모두 바닥으로 내리면 가능한 가장 작은 총점이 나온다.

총점 ≥ 500+60(n-5)=60n+200

3STEP 3

바닥과 필요한 총점 비교하기

바닥이 필요한 총점을 넘으면 안 되므로 적어도 13명이다.

60n+200 ≤ 76n → 200 ≤ 16n → n ≥ 25/2=12.5 → n ≥ 13

4STEP 4

13명짜리 반 만들어 보이기

61점 여덟 명으로 13명짜리 반이 실제로 존재하므로 답은 13, 보기 (D).

13 · 76=988, 988-500=488, 488/8=61, 60 ≤ 61 ＜ 100 (D)

정답

대수 계산을 믿지 말고 탈락한 인원수를 직접 확인해 보자. n=12라면 총점이 12 × 76=912여야 하는데, 12명이 가질 수 있는 가장 작은 총점은 500+7 × 60=920이고 920 ＞ 912이다. 100점이 아닌 일곱 명이 모두 60점까지 내려가도 평균은 76보다 위에 남는다. 그러므로 12는 정말로 불가능하고 13은 정말로 가능하며, 이것이 '가장 작은'이 요구하는 전부이다. 부등식에서 나온 12.5는 그 자체로 답이 아니라 경계선이고, 정수 답은 그 바로 위의 정수이다.

💡핵심 정리

100점 다섯 개가 평균을 밀어 올리고 60점 바닥에 앉은 학생만이 그것을 끌어내릴 수 있으니, 바닥에 앉을 학생이 몇 명 필요한지 세고 나서 그 인원수의 반을 실제로 만들어 확인하라.

평균을 총점으로 바꾸기
나머지를 바닥까지 내리기
바닥과 필요한 총점 비교하기
13명짜리 반 만들어 보이기

평균을 총점으로 바꾸기

나머지를 바닥까지 내리기

바닥과 필요한 총점 비교하기

13명짜리 반 만들어 보이기

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