AMC 10 · 2004 · #17

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

vieta-formulaslogarithm-propertiespolynomial-roots convert-to-algebralogical-deduction ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

실수 계수인 삼차방정식이 서로 다른 세 양의 근을 가진다. 그 근들의 밑이 2인 로그의 합이 5이다. 계수 a 의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-256

(B)

-64

(C)

-8

(D)

(E)

256

풀이 과정

전략 변수 도입하기

근을 하나하나 구할 수는 없다. 그럴 만한 정보가 없고 b도 일부러 자유롭게 남겨 두었기 때문이다. 그러니 근을 x₁,x₂,x₃이라 이름 붙이고, 주어진 조건이 실제로 통제하는 하나의 조합을 찾는다. 같은 밑의 로그의 합은 곱의 로그이므로, 주어진 조건은 결국 x₁x₂x₃에 대한 말이다. 근의 곱이 다시 나타나는 자리는 인수분해된 꼴의 상수항이다. 따라서 같은 삼차식을 전개된 꼴과 인수분해된 꼴, 두 가지로 적으면 아는 값과 모르는 a가 한 방정식의 양쪽에 놓인다.

1STEP 1

로그의 합을 곱으로 바꾸기

로그의 합은 곱의 로그이므로 근들의 곱은 32다.

log₂(x₁x₂x₃)=5 ⟹ x₁x₂x₃=2⁵=32

2STEP 2

삼차식을 인수분해된 꼴로 적기

근이 서로 달라 삼차식을 완전히 인수분해할 수 있다.

8x³+4ax²+2bx+a=8(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)

3STEP 3

상수항 읽어 내기

0을 대입하면 상수항이 바로 -256으로 읽힌다.

a=-8x₁x₂x₃=-8 · 32=-256

4STEP 4

그런 삼차식이 정말 있는지 확인하기

구체적인 근 세 쌍이 그런 삼차식의 존재를 보이므로 답은 -256, 보기 (A).

x₁+x₂+x₃=-a/2=128, x₁x₂x₃=32: (32, 48+√(2303), 48-√(2303))

정답

-256

빠른 두 가지 걸러내기로 선택지가 정리된다. 부호를 보자. 근이 모두 양수이므로 곱이 양수이고, 인수분해된 꼴에서 그 곱은 -a/8과 같다. 따라서 a는 음수이고 64와 256이 한 번에 지워진다. 크기를 보자. 곱이 정확히 2⁵=32이므로 |a|=8 · 32=256이고 -64와 -8이 지워진다. 둘을 모두 통과하는 것은 -256뿐이다. 4단계는 선택지 지우기만으로는 얻을 수 없는 것을 보탠다. 서로 다른 세 양의 근을 가진 삼차식을 실제로 하나 제시하므로, 답이 공허한 가정 위에 서 있지 않다.

💡핵심 정리

로그를 더하는 것은 수를 곱하는 것이고, 다항식의 상수항은 부호만 빼면 근의 곱이다. 두 사실이 '근의 곱'에서 만나 답을 건네준다.

로그의 합을 곱으로 바꾸기
삼차식을 인수분해된 꼴로 적기
상수항 읽어 내기
그런 삼차식이 정말 있는지 확인하기

로그의 합을 곱으로 바꾸기

삼차식을 인수분해된 꼴로 적기

상수항 읽어 내기

그런 삼차식이 정말 있는지 확인하기

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