AMC 10 · 2004 · #22

학년 8 geometry-2d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen
factorsprime-factorizationdivisibility-rules convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
양의 정수가 든 삼 곱하기 삼 정사각형에서 왼쪽 위 칸은 50, 오른쪽 아래 칸은 2이다. 모든 행, 모든 열, 두 대각선의 곱이 모두 같다. 왼쪽 아래 칸이 가질 수 있는 값들의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
25
(C)
35
(D)
62
(E)
136
풀이 과정
전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)로 공통의 곱 P 에 이름을 붙이고 여덟 줄의 식을 모두 적습니다. 무엇을 묻고 있는지 보이게 하는 유일한 방법입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심 수를 제공합니다. 특정한 네 줄, 곧 가운데 행, 가운데 열, 두 대각선을 곱해서 아홉 칸 전체의 곱과 비교하는 것입니다. 이 한 번의 재배열로 가운데 칸이 e=10, 공통의 곱이 P=1000으로 확정되고, 그 뒤에는 모든 칸을 g 하나로 적을 수 있습니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 마무리합니다. 식을 손에 쥔 채 어떤 g 가 모든 칸을 정수로 남기는지 묻고, '필요조건'에서 멈추지 않도록 각 정사각형을 실제로 만들어 확인합니다.

1STEP 1

공통의 곱에 이름 붙이기

공통의 곱에 이름을 붙이면 정사각형이 여덟 방정식이 된다.

50bc = def = 2gh = 50dg = beh = 2cf = 100e = ceg = P
2STEP 2

가운데 칸을 e=10으로 확정하기

가운데를 지나는 네 줄을 곱하면 가운데가 10으로 정해진다.

(def)(beh)(100e)(ceg) = P³ · e³ = P⁴ → e³ = P = 100e → e = 10, P = 1000
3STEP 3

모든 칸을 g 로 나타내기

그러면 모든 칸을 모서리 하나로 나타낼 수 있다.

e=10, h=500/g, d=20/g, c=100/g, b=g/5, f=5g
4STEP 4

어떤 g 가 모든 칸을 정수로 남기는지 묻기

나누어떨어짐 조건 둘이 세 값만 남긴다.

g ∣ 20 그리고 5 ∣ g ⟹ g ∈ {5, 10, 20}
5STEP 5

세 개의 정사각형을 만들고 더하기

셋 다 실제 정사각형을 만들므로 합은 35, 보기 (C).

5 + 10 + 20 = 35 (C)
정답
35
각 정사각형은 손으로 확인할 수 있습니다. g=10 일 때 행은 50 · 2 · 10 = 2 · 10 · 50 = 10 · 50 · 2 = 1000, 열도 50 · 2 · 10 = 2 · 10 · 50 = 10 · 50 · 2 = 1000, 대각선은 50 · 10 · 2 = 10 · 10 · 10 = 1000입니다. 구조적인 확인도 있습니다. 정사각형을 전치하면(주대각선에 대해 뒤집으면) 50과 2는 둘 다 그 대각선 위에 있으므로 자리를 지키고, g 와 c=100/g가 서로 바뀝니다. 그러므로 해들은 g ⇔ 100/g로 짝지어져야 하는데 실제로 그렇습니다. g=5 인 정사각형을 전치하면 g=20 인 정사각형이 되고, g=10 인 정사각형은 자기 자신이 됩니다. 이 대칭성 덕분에 해를 빠뜨렸을 가능성은 낮습니다. 합 35는 선택지 (C)이고, 더 작은 (B) 25는 값을 하나 놓친 경우, (D)나 (E)는 정수 조건을 통과하지 못하는 값을 더 넣은 경우에 해당합니다.
💡핵심 정리

가운데 칸을 지나는 네 줄을 곱하면 가운데가 10이고 모든 줄의 곱이 1000 임을 알 수 있습니다. 그러면 모든 칸이 g 에 대한 식이 되고, g=5,10,20 만이 그 값들을 모두 정수로 남기므로 합은 35입니다.

  • 공통의 곱에 이름 붙이기
  • 가운데 칸을 e=10으로 확정하기
  • 모든 칸을 g 로 나타내기
  • 어떤 g 가 모든 칸을 정수로 남기는지 묻기
  • 세 개의 정사각형을 만들고 더하기

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