AMC 10 · 2004 · #3

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
prime-factorizationexponents identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
양의 정수 지수 x 와 y 가 2의 x제곱 곱하기 3의 y제곱은 1296을 만족한다. x 더하기 y 를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
8
(B)
9
(C)
10
(D)
11
(E)
12
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

식 하나에 미지의 지수가 둘이라 얽혀 보이지만, 두 소수가 절대 섞이지 않는다는 점을 알아채면 풀립니다. 그러면 문제는 서로 독립인 두 개의 세기 — 1296 안에 2가 몇 개, 3이 몇 개 들어 있는가 — 로 쪼개지며, 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다. 각 세기는 도구 #11(거꾸로 풀기)로 합니다: 완성된 곱 1296이 주어졌으니 거꾸로 나누어 지수를 되찾습니다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)이 세기만으로는 남는 빈틈을 메워, 다른 쌍 (x,y)는 불가능함을 보입니다. 그래야 x+y 가 하나의 수로 확정됩니다.

1STEP 1

두 개의 세기로 쪼개기

두 소수는 서로를 대신할 수 없어 방정식이 둘로 나뉜다.

2^x3^y=1296 ⟹ x=#{1296 안의 인수 2}, y=#{1296 안의 인수 3}
2STEP 2

인수 2를 벗겨 내기

홀수가 될 때까지 반으로 나누면 2의 인수가 정확히 네 개 나온다.

1296=2·648=2²·324=2³·162=2⁴·81, 81 은 홀수
3STEP 3

인수 3을 벗겨 내기

남은 81을 나누면 3의 인수가 네 개 나온다.

81=3·27=3²·9=3³·3=3⁴, 2⁴·3⁴=16·81=1296
4STEP 4

다른 쌍은 불가능함을 보이기

홀짝이 다른 모든 쌍을 배제하므로 x 더하기 y 는 8, 보기 (A).

x ≤ 3→ 3^y=2⁴-x·81 은 짝수; x ≥ 5→ 81 이 짝수; 따라서 x=4, 3^y=81=3⁴, y=4, x+y=8 (A)
정답
8
다시 대입하면 고리가 닫힙니다: 2⁴·3⁴=16·81=1296. 같은 수를 전혀 다른 방식으로 읽어도 확인됩니다 — 1296=36²=(6²)²=6⁴=(2·3)⁴=2⁴3⁴로, 나눗셈 한 번 없이 도달합니다. 나머지 네 선택지가 불가능한 이유도 있습니다. x+y 는 결국 1296을 만드는 데 쓰인 소수의 개수를 세는 것이고, 그 사슬은 2·2·2·2·3·3·3·3으로 길이가 여덟입니다. 소수를 x 와 y 에 어떻게 나누어 주든 합은 항상 8 이므로, 9부터 12 까지의 합이 되려면 1296 보다 소인수가 더 많은 수여야 합니다.
💡핵심 정리

수를 소수로 쪼갠 뒤 등식의 양쪽에서 소수를 하나씩 맞춰 보세요 — 지수가 맞아떨어지는 방법은 오직 하나뿐입니다.

  • 두 개의 세기로 쪼개기
  • 인수 2를 벗겨 내기
  • 인수 3을 벗겨 내기
  • 다른 쌍은 불가능함을 보이기

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