AMC 10 · 2005 · #11
학년 6 arithmetic digit-constraintsparity caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: place-valueparitymean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 세 자리 수에서 가운데 숫자가 첫째 숫자와 마지막 숫자의 평균과 같다. 그런 수가 몇 개인지 세어라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
41
(B)
42
(C)
43
(D)
44
(E)
45
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
'가운데가 평균'이라는 말 속에는 더 깔끔한 규칙이 숨어 있다. 먼저 식으로 바꿔 첫째와 마지막 숫자만 자유롭게 정할 수 있음을 알아내고, 홀짝(짝수 여부)에 따라 두 가지 깔끔한 경우로 세어 더한다.
1STEP 1
평균을 합으로 바꾸기
분수를 없애면 조건이 합이 된다.
b = (a+c)/2 ⟹ 2b = a + c
두 수의 평균은 그 합을 반으로 나눈 것이므로, 두 배 하면 합이 그대로 돌아온다.
6.SP.A.3Convert To Algebra2STEP 2
가운데 숫자는 저절로 정해진다
그러면 가운데 숫자는 강제되고 언제나 유효하다.
0 ≤ a + c ≤ 18 → 0 ≤ (a+c)/2 ≤ 9
어떤 수의 절반이 정수가 되려면 그 수가 짝수여야 하므로, a + c는 짝수여야 한다.
2.OA.C.3Identify Subproblems3STEP 3
짝수 합은 홀짝이 같다는 뜻
정수가 되는 것은 바깥 두 숫자의 홀짝이 같을 때뿐이다.
홀수 더하기 홀수, 짝수 더하기 짝수는 모두 짝수이고, 서로 다르면 합이 홀수가 된다.
두 자릿수의 합이 짝수가 되려면 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수여야 한다.
▸ 왜?
홀수 더하기 홀수와 짝수 더하기 짝수는 모두 짝수가 되지만, 엇갈린 짝은 언제나 홀수가 된다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
▸ 왜?
가운데 자릿수는 바깥 두 수의 평균이며, 평균이 정수가 되려면 합이 짝수여야 한다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
4STEP 4
경우 1 — 두 숫자 모두 홀수
둘 다 홀수면 25개다.
5 × 5 = 25
모든 홀수 첫째 숫자를 모든 홀수 마지막 숫자와 짝지을 수 있으므로 선택 수를 곱한다.
3.OA.A.1Make A Systematic List5STEP 5
경우 2 — 두 숫자 모두 짝수
둘 다 짝수면 맨 앞이 0일 수 없어 20개뿐이다.
4 × 5 = 20
0은 맨 뒤에는 괜찮지만 맨 앞에는 안 되므로 첫째 자리는 선택지를 하나 잃는다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List6STEP 6
경우들을 더하기
경우가 겹치지 않으므로 개수는 45, 보기 (E).
25 + 20 = 45
겹치지 않는 별개의 경우들은 그냥 더해서 전체 개수를 구한다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List정답
45
첫째와 마지막 숫자를 고르는 방법은 9 x 10 = 90가지이다(첫째는 1-9, 마지막은 0-9). 이 중 합이 짝수인 것만 조건을 만족하는데, 짝수 합은 전체의 거의 절반이다. 90개 중 45개는 정확히 절반이므로 앞뒤가 맞고, 두 경우로 센 값과도 일치한다.
💡핵심 정리
가운데 숫자가 평균이라는 것은 첫째와 마지막 숫자의 합이 짝수라는 뜻이므로, 홀짝이 같은 쌍을 경우별로 세어 더하면 된다.
- 평균을 합으로 바꾸기
- 가운데 숫자는 저절로 정해진다
- 짝수 합은 홀짝이 같다는 뜻
- 경우 1 — 두 숫자 모두 홀수
- 경우 2 — 두 숫자 모두 짝수
- 경우들을 더하기