AMC 10 · 2005 · #13

학년 6 geometry-2d
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
sequences-arithmeticdouble-counting pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
다섯 수를 별의 다섯 꼭짓점에 하나씩 놓고, 다섯 변마다 양 끝 수의 합을 적는다. 그 다섯 합이 어떤 순서로 등차수열을 이룬다. 그 수열의 가운데 항을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
10
(C)
11
(D)
12
(E)
13
풀이 과정
전략 관점 바꾸기

3, 5, 6, 7, 9를 올바르게 배치하는 것은 120 가지 순서의 미로이고, 맞는 것을 찾아 헤매면 느리다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 이를 우회한다: 배열을 찾는 대신 다섯 변의 합을 한꺼번에 모두 더한다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 핵심 구조를 알려 준다 — 모든 꼭짓점은 정확히 두 변에 닿으므로, 그 총합은 각 숫자를 두 번씩 센다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 가운데 항을 m 으로 이름 붙여, 등차수열의 성질을 하나의 방정식으로 바꾼다.

1STEP 1

배열 그만두고 총합 구하기

배열에서 모든 변 합의 총합으로 관점을 옮긴다.

S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = ?
2STEP 2

각 꼭짓점은 두 번씩 세어진다

각 꼭짓점이 두 변에 있으므로 총합은 수들의 합의 두 배다.

S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = 2(3+5+6+7+9) = 2 · 30 = 60
3STEP 3

가운데 항은 평균과 같다

항이 홀수인 등차수열에서 가운데 항은 평균이다.

5m = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = 60
4STEP 4

가운데 항 풀기

나누면 12, 보기 (D).

5m = 60 → m = 60/5 = 12 → (D)
정답
12
가운데 항은 다섯 변의 합의 평균이어야 하고, 그 평균은 숫자를 어떻게 배열하든 상관없이 항상 60/5 = 12이다. 문제가 잘 정의되도록 실제 배열이 존재하는지 확인하자: 숫자를 별 둘레에 9, 5, 6, 7, 3의 순환 순서로 놓는다. 변의 합은 9+5=14, 5+6=11, 6+7=13, 7+3=10, 3+9=12, 즉 {10,11,12,13,14} — 공차가 1이고 가운데 항이 12 인 등차수열이다. 또한 12는 선택지 중 하나이고 목록의 정중앙에 놓여 있어, 둘 다 안심되는 신호이다.
💡핵심 정리

정확한 배열을 못박기 어려울 때는, 전부 한꺼번에 더해 보자 — 총합이 답을 건네줄 때가 많다.

  • 배열 그만두고 총합 구하기
  • 각 꼭짓점은 두 번씩 세어진다
  • 가운데 항은 평균과 같다
  • 가운데 항 풀기

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