AMC 10 · 2005 · #14
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
이 실험은 두 단계로 이루어지고 두 번째 단계는 첫 번째 단계에 따라 달라진다. 첫 단계에 대해 "점을 잃은 면이 홀수였나 짝수였나?" 하나만 물어서 경우를 쪼개면 충분하다. 그 한 가지 사실이 두 번째 단계의 결과를 완전히 결정하기 때문이다. 주의할 점은 점을 잃는 면이 그 면의 점 개수에 비례해서 정해진다는 것이다. 따라서 두 경우는 확률이 같지 않고, 면의 개수가 아니라 점의 개수로 가중치를 매겨야 한다.
면이 아니라 점으로 가중치 매기기
고르게 뽑히는 것은 점이라 각 면이 자기 가중치를 가진다.
뽑는 것은 면이 아니라 점이므로, 점이 많은 면일수록 더 큰 과녁이다.
7.SP.C.7Identify Subproblems점 하나를 지우면 한 면의 홀짝이 뒤집힌다
점 하나를 지우면 정확히 한 면의 홀짝이 뒤집힌다.
점 하나를 빼면 그 면은 항상 홀수와 짝수 사이를 오가므로, 홀수 면의 개수만 하나 움직인다.
점 하나를 없애면 어떤 면 하나가 홀수와 짝수 사이를 오가므로, 홀수 면의 개수가 정확히 하나 움직인다.
▸ 왜?
어떤 수에서 하나를 빼면 홀수가 짝수로, 짝수가 홀수로 뒤집히며 그대로 남는 일은 없다.
▸ 왜?
없어진 점은 홀수 면에서 왔거나 짝수 면에서 왔을 뿐 둘 다일 수 없으므로, 두 경우를 그냥 더하면 된다.
각 경우 안에서의 확률
그래서 홀수 면의 개수가 2 또는 4가 된다.
주사위가 정해지고 나면 윗면이 홀수라는 것은 그저 홀수 면 중 하나에 멈춘다는 뜻이다.
7.SP.C.7Identify Subproblems두 경우 합치기
두 경우를 가중해 더하면 11/21이다.
각 경우는 자기 확률을, 그 경우가 얼마나 자주 일어나는지만큼 덜어서 내놓는다.
5.NF.A.1Identify Subproblems모든 결과를 세어 확인
모든 결과를 평평히 세어도 11/21이 확인된다, 보기 (D).
확률이 같은 (지운 점, 굴린 면) 짝을 전부 나열하면 확률이 그냥 개수의 비가 된다.
7.SP.C.8Organize Information In More Ways뽑히는 것은 면이 아니라 점이므로 점이 많은 면일수록 상하기 쉽다. 여섯 면을 똑같이 보지 말고 점 개수로 가중치를 매겨야 한다.
- 면이 아니라 점으로 가중치 매기기
- 점 하나를 지우면 한 면의 홀짝이 뒤집힌다
- 각 경우 안에서의 확률
- 두 경우 합치기
- 모든 결과를 세어 확인