AMC 10 · 2005 · #21
학년 11 algebranumber-theory logarithm-propertiesexponentsexponential-function caseworkbound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesexponents
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정수 순서쌍이 큰 지수를 가진 로그 조건을 만족하면서 합이 2005여야 한다. 둘 다 만족하는 순서쌍의 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
로그를 거듭제곱으로 바꾸면 b가 a와 c로 결정되므로, 실제로 갈라지는 변수는 c 하나뿐이다. c로 경우를 나누면 큰 값을 없애는 순간 목록이 완전해지는데, 그 제거는 '지수가 커 보인다'는 느낌이 아니라 크기 부등식으로 이루어져야 한다. 빠짐없는 경우 목록이 있어야 개수 세기가 증명이 된다.
1STEP 1
로그를 거듭제곱으로 바꾸기
로그를 거듭제곱으로 바꾸면 로그가 완전히 사라진다.
log_a b = c²⁰⁰⁵ ⇔ b = a^{ c²⁰⁰⁵}
로그는 자리만 바꿔 쓴 지수다.
로그는 지수를 다른 자리에 적은 것일 뿐이므로, 그 조건은 사실 거듭제곱에 관한 것이다.
▸ 왜?
지수는 밑을 인수로 몇 번 썼는지를 세며, 로그는 그 횟수를 알려 준다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
▸ 왜?
합이 정해져 있으면 각 부분에 천장이 생기는데, 거듭제곱은 그런 천장을 거의 곧바로 넘어선다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
2STEP 2
합으로 각 부분에 상한 두기
합 조건이 모든 부분에 상한을 씌운다.
b = 2005 - a - c ≤ 2005 - 2 - 0 = 2003
총합이 고정되면 각 부분에 천장이 생기고, 지수는 그 천장을 지키지 않는다.
9.A-CED.A.3Extreme Principle3STEP 3
c가 0인 경우
지수가 0이면 값이 강제되어 순서쌍이 하나 나온다.
b = a⁰ = 1 → a = 2004 → (a,b,c) = (2004, 1, 0)
지수가 0이면 합 조건이 끼어들기도 전에 b가 1로 못 박힌다.
8.EE.A.1Make A Systematic List4STEP 4
c가 1인 경우
지수가 1이면 정확히 하나가 더 나온다.
2a + 1 = 2005 → a = b = 1002 → (a,b,c) = (1002, 1002, 1)
로그값이 1이라는 것은 밑과 진수가 같다는 뜻이다.
9.A-REI.B.3Make A Systematic List5STEP 5
c가 2 이상이면 너무 크다
그보다 크면 상한을 넘어서므로 그 경우는 비어 있다.
c ≥ 2 → c²⁰⁰⁵ ≥ 2²⁰⁰⁵ ＞ 12 → b ≥ 2¹² = 4096 ＞ 2003 ≥ b
지수적 증가는 2005이라는 고정된 예산을 순식간에 넘어선다.
8.EE.A.1Extreme Principle6STEP 6
빠짐없는 경우 목록 모으기
경우가 전부를 덮으므로 개수는 2, 보기 (C).
(2004, 1, 0) 그리고 (1002, 1002, 1)
빠뜨린 경우가 없는 분류라야 찾기가 세기가 된다.
9.A-CED.A.3Eliminate Possibilities정답
2
살아남은 두 순서쌍을 직접 써서 원래 두 식에 모두 대입해 확인했으므로 개수는 최소 2다. 나머지 모든 c는 부등식 b ≥ 4096 ＞ 2003으로 명시적으로 제거했으므로 개수는 최대 2다. 두 방향이 모두 필요하다. 예를 드는 것만으로는 세 번째 순서쌍이 없다는 보장이 없고, 크기 부등식만으로는 두 후보가 실제로 성립하는지 확인되지 않는다.
💡핵심 정리
로그는 지수이고, 지수는 너무 빨리 자라서 2005처럼 정해진 총합 안에는 아주 작은 지수만 들어갈 수 있다.
- 로그를 거듭제곱으로 바꾸기
- 합으로 각 부분에 상한 두기
- c가 0인 경우
- c가 1인 경우
- c가 2 이상이면 너무 크다
- 빠짐없는 경우 목록 모으기