AMC 10 · 2005 · #22
학년 9 geometry-3d space-diagonal-formulasurface-areasymmetric-polynomials convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsurface-areaexponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
직육면체의 여덟 꼭짓점이 모두 구면 위에 있다. 겉넓이는 384이고 열두 모서리의 합은 112이다. 구의 반지름을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
8
(B)
10
(C)
12
(D)
14
(E)
16
풀이 과정
전략 변수 도입하기
세 변에 이름을 붙이면 두 조건이 l, w, h에 대한 대칭식 두 개가 된다. 구 조건은 공간 대각선으로 바뀌는데 그러려면 l² + w² + h²가 필요하고, 이 값은 합 l+w+h를 제곱할 때 바로 나타난다. 그래서 각 변의 값은 끝까지 필요 없고, 주어진 두 대칭합만 있으면 된다.
1STEP 1
세 변에 이름 붙이기
주어진 두 사실이 세 모서리의 대칭식이 된다.
lw + lh + wh = 192, l + w + h = 28
직육면체에 대한 두 사실이 같은 세 미지수에 대한 대칭식 두 개로 바뀐다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable2STEP 2
긴 대각선이 곧 지름
여덟 꼭짓점이 중심에서 같은 거리이므로 긴 대각선이 지름이다.
2r = √(l² + w² + h²)
여덟 꼭짓점이 직육면체 중심에서 똑같이 떨어져 있으므로 그 점이 구의 중심일 수밖에 없다.
8.G.B.7Visualize Spatial Relationships3STEP 3
피타고라스를 두 번
직각삼각형 둘을 겹치면 세 모서리로 그 대각선이 나온다.
√((√(l² + w²))² + h²) = √(l² + w² + h²)
공간 대각선은 평면 대각선에 직각 한 단계를 더 붙인 것이다.
8.G.B.7Draw A Diagram4STEP 4
모서리 합을 제곱하기
모서리 합을 제곱하면 필요한 값이 정확히 나온다: 400.
l² + w² + h² = (l+w+h)² - 2(lw + lh + wh) = 28² - 384 = 784 - 384 = 400
주어진 두 합은 세 항의 합을 제곱할 때 나오는 조각들과 정확히 일치한다.
세 모서리의 합을 제곱하면 문제가 이미 내어 준 두 양이 정확히 나온다.
▸ 왜?
합을 자기 자신과 곱해 펼치면 각 제곱이 한 번씩, 각 교차항이 두 번씩 나온다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
직육면체 대각선의 제곱은 세 모서리 제곱을 더한 것이므로, 대각선에 필요한 것이 바로 그 합이다.
피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).
5STEP 5
대각선을 반으로
대각선을 반으로 하면 10, 보기 (B).
2r = √(400) = 20 → r = 10
대각선을 알고 나면 반지름은 나눗셈 한 번 거리다.
8.EE.A.2Introduce A Variable정답
10
대각선 20은 l + w + h = 28보다 짧고 어떤 한 모서리보다는 길어야 하는데 실제로 그렇다. 또 이 조건을 만족하는 직육면체가 정말 존재하는지도 확인할 가치가 있다. 미지수 세 개에 식 두 개뿐이라 존재가 저절로 보장되지는 않기 때문이다. l = w = (28 - 4√(13))/3 ≈ 4.53, h = (28 + 8√(13))/3 ≈ 18.95로 두면 모서리 합은 28, 겉넓이는 384, 공간 대각선은 정확히 20이 된다. 즉 답은 식만 맞는 상황이 아니라 실제 직육면체를 가리킨다.
💡핵심 정리
l + w + h를 제곱하면 겉넓이가 저절로 딸려 나오므로, l, w, h를 각각 구하지 않고도 대각선이 떨어진다.
- 세 변에 이름 붙이기
- 긴 대각선이 곧 지름
- 피타고라스를 두 번
- 모서리 합을 제곱하기
- 대각선을 반으로